前量子化は大きすぎる

量子力学の様々な構成方法　第10部 第3章 §10.3.5　★★★ 前量子の Hilbert 空間は基準の Schrödinger 表現を無限個重ねたもので、調和振動子のスペクトルは $\hbar\omega_0\mathbb{Z}$（下に有界でなく、各準位が無限に縮退）になる

Schrödinger 表現への分解

第10部第1章の例題で、前量子化の $\hat q=q+\mathrm{i}\hbar\,\partial_p$、$\hat p=-\mathrm{i}\hbar\,\partial_q$ の両方と交換する演算子 $\hat K=p+\mathrm{i}\hbar\,\partial_q$ があり、表現が既約でないことを見た（第10部第1章）。ここではその分解を具体的に書く。

Stone–von Neumann の定理は、$\left[\hat q,\,\hat p\right]=\mathrm{i}\hbar$ を（Weyl 形式で）満たす表現が Schrödinger 表現の直和に限ることを述べる（第2部第6章）。定理 10.3.6 はその直和の重複度を具体的に示し、重複度が $L^2(\mathbb{R}_v)$ の次元、つまり可算無限であることを言っている。基準の量子力学を取り出すには、余分な変数 $v$ を何らかの方法で固定し、$L^2(\mathbb{R}_u)$ の1つ分だけを残せばよい。第4章の偏極は、これを「相空間の半分の方向について共変微分が0になる切断だけを残す」という幾何の条件で行う（第10部第4章）。$\theta=-p\,\mathrm{d} q$ の実偏極では $\nabla_{\partial_p}F=\partial_pF=0$、すなわち $F$ が $q$ だけの関数であることを課し、位置表示がそのまま出てくる。

調和振動子のスペクトル

2次の関数を前量子化すると、余分な因子は「消えずに逆符号で」残る。例題 10.3.5 で確かめるように

$$\mathcal Q_{\mathrm{pre}}(q^2)=u^2-v^2,\qquad\mathcal Q_{\mathrm{pre}}(p^2)=P_u^2-P_v^2\qquad(P_u=-\mathrm{i}\hbar\partial_u,\ P_v=-\mathrm{i}\hbar\partial_v)\tag{10.3.16}$$

で、調和振動子 $H=p^2/(2m)+m\omega_0^2q^2/2$ は

$$\mathcal Q_{\mathrm{pre}}(H)=H_u-H_v,\qquad H_u=\frac{P_u^2}{2m}+\frac{m\omega_0^2u^2}{2},\quad H_v=\frac{P_v^2}{2m}+\frac{m\omega_0^2v^2}{2}\tag{10.3.17}$$

となる。2つの振動子の差なので、固有値は $\hbar\omega_0(n+\tfrac12)-\hbar\omega_0(n'+\tfrac12)=\hbar\omega_0(n-n')$（$n,n'=0,1,2,\dots$）で、

$$\mathrm{spec}\,\mathcal Q_{\mathrm{pre}}(H)=\hbar\omega_0\mathbb{Z},\qquad\text{各固有値は無限に縮退}\tag{10.3.18}$$

である。零点エネルギー $\hbar\omega_0/2$ は $H_u$ と $H_v$ で打ち消し合い、負の固有値も現れる。

同じ結果を対称なゲージで直接確かめる。例題 10.3.3 (3) から $\mathcal Q'_{\mathrm{pre}}(H)=-\mathrm{i}\hbar X_H$ で、スケールした座標 $x=\sqrt{m\omega_0}\,q$、$y=p/\sqrt{m\omega_0}$ では $X_H=\omega_0(y\,\partial_x-x\,\partial_y)$ である。極座標 $x=r\cos\varphi$、$y=r\sin\varphi$ で$\partial_\varphi=-y\,\partial_x+x\,\partial_y$ なので $X_H=-\omega_0\partial_\varphi$（相空間を時計回りに回る流れ）、$\mathcal Q'_{\mathrm{pre}}(H)=\mathrm{i}\hbar\omega_0\,\partial_\varphi$。$R(r)\mathrm{e}^{\mathrm{i} k\varphi}$（$k\in\mathbb{Z}$、$R$ は任意）に当てると固有値 $-\hbar\omega_0k$ で、$R$ の選び方の分だけ無限に縮退する。固有関数は「相空間の同じ円の上で回転に対して位相 $\mathrm{e}^{\mathrm{i} k\varphi}$ を持つ関数」で、半径（エネルギー）が何も制限されていない。

図 10.3.2　調和振動子のスペクトル。左（実線）は前量子化の $\mathcal Q_{\mathrm{pre}}(H)$ の固有値 $\hbar\omega_0k$（$k\in\mathbb{Z}$）で、下に有界でなく各準位が無限に縮退する。右（点線）は基準の量子力学の $\hbar\omega_0(n+\frac12)$。偏極で余分な因子を落とし、半形式補正で $\frac12$ をずらすと右になる（第10部第4・5章）。

前量子化のスペクトルは共通例題①の正答 $E_n=\hbar\omega_0(n+\frac12)$ と次の3点で食い違う。第一に下に有界でない。第二に各準位が無限に縮退する。第三に零点エネルギーが無い。第一と第二は余分な因子 $L^2(\mathbb{R}_v)$ のせいで、偏極で取り除かれる（第4章）。第三は偏極だけでは直らず、半形式補正という別の修正が要る（第5章）。熱平衡の分配関数 $\operatorname{Tr}\,\mathrm{e}^{-\beta\mathcal Q_{\mathrm{pre}}(H)}$ は、$H_v$ の側が $\mathrm{e}^{+\beta H_v}$ として入るので発散し、前量子化のままでは統計力学も組めない。