橋：正準量子化・基準・ゲージ場・経路積分と並べる

量子力学の様々な構成方法　第10部 第3章 §10.3.6　★★★ 前量子化は「括弧を厳密に保つ代わりに既約性を失った正準量子化」で、基準とは Schrödinger 表現の重複度だけが違う。接続の位相は Aharonov–Bohm の位相・経路積分の $\mathrm{e}^{\mathrm{i} S/\hbar}$ と同じ

この章の結果は、同値性の地図の橋「正準量子化 ↔ 幾何学的量子化」（Poisson 括弧 → 交換子を全部の関数には課せない／課せる範囲を前量子化と偏極で決める）の前半にあたる。計画の表の置き場は第10部の前半で、前量子化の写像が括弧を全部の関数で保つことはこの章の命題 10.3.2 と定理 10.3.3 で両向きに示した（括弧を保つ $\Rightarrow$ 曲率が $(\mathrm{i}/\hbar)\omega$、曲率が $(\mathrm{i}/\hbar)\omega$ $\Rightarrow$ 括弧を保つ）。以下、ほかの部の言葉と式を並べる。

正準量子化との対応

正準量子化の処方は $\{f,g\}\to\left[\hat f,\,\hat g\right]/(\mathrm{i}\hbar)$ で、$\hat q=x$、$\hat p=-\mathrm{i}\hbar\,\partial_x$ を $L^2(\mathbb{R})$ の上で使う（第2部第2章）。第10部第1章の Groenewold の定理によれば、既約な表現の上ではこの処方を3次以上の多項式に課せない。3つの写像を並べると次のようになる。

定理 10.3.6 の分解で、前量子化の $\hat q,\hat p$ を $L^2(\mathbb{R}_u)$ に制限したものは正準量子化の $\hat q,\hat p$ と一致する。ただし $\mathcal Q_{\mathrm{pre}}(q^2)=u^2-v^2$ は $L^2(\mathbb{R}_u)$ を保たないので、2次の関数の前量子化を「制限する」だけでは正準量子化の $\hat q^{\,2}$ は得られない。偏極で残る切断の空間を保つ関数だけを写すことになり、その範囲が $p$ について1次以下の関数 $a(q)+b(q)p$ である（第10部第2章・第4章）。

基準（状態ベクトルと演算子）との対応

基準の公理（第1部第2章）で状態空間は既約な表現の空間であり、前量子化はこの点で基準と食い違う。食い違いは定理 10.3.6 の重複度 $L^2(\mathbb{R}_v)$ だけで、

$$\mathcal{H}_{\mathrm{pre}}\cong\mathcal{H}_{\text{基準}}\otimes L^2(\mathbb{R}_v),\qquad\mathcal Q_{\mathrm{pre}}(q)=\hat q\otimes1,\quad\mathcal Q_{\mathrm{pre}}(p)=\hat p\otimes1$$

と書ける。$\hat q,\hat p$ だけを見る限り、前量子化は基準のコピーを並べたもので、新しい物理は無い。違いは2次以上の関数と、$\hat K=1\otimes\mathrm{i}\hbar\partial_v$ のような余分な観測量に出る。

ゲージ場との対応

前量子化の部品と電磁気の部品は1対1に対応する。

違いは、電磁気の接続が配位空間の上にあって磁場が外から与えられるのに対し、前量子化の接続は相空間の上にあって曲率がシンプレクティック形式そのもので決まることである。「量子力学の位相の自由度は、相空間に一様な磁場 $\omega/\hbar$ がかかったものとして扱える」というのが、この章の主張の物理での言い換えになる。電磁場中の量子力学の扱いは解析力学の巻（解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第4部第6章）にある。

経路積分・WKB との対応

命題 10.3.4 の位相 $\mathrm{e}^{\mathrm{i} S_t/\hbar}$ は、経路積分 $\int\mathcal Dx\,\mathrm{e}^{\mathrm{i} S[x]/\hbar}$ の中で古典の経路が持つ位相と同じである（第3部第2章）。停留位相の近似では、経路積分は古典の経路の寄与 $\mathrm{e}^{\mathrm{i} S_{\mathrm{cl}}/\hbar}$ に揺らぎの因子（van Vleck 行列式）を掛けたものになる（第3部第4章）。前量子化はこの揺らぎの因子を持たず、相空間の点ごとに位相だけを運ぶ。

周期軌道に沿ったホロノミーは、例題 10.3.6 で見るとおり $\exp(\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\oint p\,\mathrm{d} q)$ になる。これが1になる条件 $\oint p\,\mathrm{d} q\in2\pi\hbar\mathbb{Z}$ は、零点の $\frac12$ を欠いた Bohr–Sommerfeld の条件である。偏極を軌道（Lagrange 部分多様体）に沿って取ると、波動関数がその軌道に沿って一価であることがこの条件にあたり、$\frac12$ のずれ（Maslov 指数）は半形式補正から出る（第10部第5章）。WKB で同じ条件を出すときは $\hbar\to0$ の極限を使う。