前量子の Hilbert 空間と時間発展

量子力学の様々な構成方法　第10部 第3章 §10.3.3　★★★ 波動関数は相空間の上の関数（線束の切断）で、内積は Liouville の測度。時間発展は古典の軌道に沿って運び、作用の位相 $\mathrm{e}^{\mathrm{i} S/\hbar}$ を掛けることになる

内積と対称性

$\mathbb{R}^{2f_{\mathrm d}}$ では、前量子化の Hilbert 空間を

$$\mathcal{H}_{\mathrm{pre}}= L^2\Bigl(\mathbb{R}^{2f_{\mathrm d}},\ \frac{\mathrm{d}^{f_{\mathrm d}}q\,\mathrm{d}^{f_{\mathrm d}}p}{(2\pi\hbar)^{f_{\mathrm d}}}\Bigr),\qquad \langle F,\,G\rangle =\int\overline{F}\,G\,\frac{\mathrm{d}^{f_{\mathrm d}}q\,\mathrm{d}^{f_{\mathrm d}}p}{(2\pi\hbar)^{f_{\mathrm d}}}\tag{10.3.8}$$

とする。測度は Liouville の体積形式 $\omega^{f_{\mathrm d}}/f_{\mathrm d}!$ を $(2\pi\hbar)^{f_{\mathrm d}}$ で割ったもので、割り算は「相空間の体積 $2\pi\hbar$ に状態が1つ」という勘定に合わせる慣習である（スペクトルには影響しない）。一般のシンプレクティック多様体では、波動関数は関数でなく複素線束 $L\to M$ の切断になる。線束とは、各点 $x\in M$ に1次元の複素ベクトル空間 $L_x$ を貼りつけたもので、切断は各点で $L_x$ の元を1つ選ぶ規則である。座標の開集合 $U_\alpha$ の上では切断を関数 $F_\alpha$ で表せ、隣り合う開集合の表し方は位相 $\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\lambda_{\alpha\beta}/\hbar}$ で結ばれる（4節）。$L$ にはエルミート計量（$\lvert F\rvert ^2$ が座標の取り方によらない）を入れ、$\nabla$ はそれを保つものに取る。$\theta$ が実の1形式であることがこの条件にあたる。

演算子 $\mathcal Q_{\mathrm{pre}}(f)$ の対称性は1節で示した。微分の部分 $-\mathrm{i}\hbar X_f$ が対称なのは $X_f$ が Liouville の体積を保つ（Liouville の定理。第10部第2章）からで、前量子化が測度 (10.3.8) を選ぶ理由もここにある。ほかの測度を選ぶと $-\mathrm{i}\hbar X_f$ に発散の項が出て対称でなくなる。

時間発展は軌道に沿う輸送

$H$ を前量子化した演算子で Schrödinger 方程式 $\mathrm{i}\hbar\,\partial_tF=\mathcal Q_{\mathrm{pre}}(H)F$ を立てる。式 (10.3.2) を代入すると

$$\partial_tF+X_HF=-\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\bigl(\theta(X_H)+H\bigr)F$$

で、左辺は「流れに乗って動く観測者から見た時間微分」である。Hamilton の流れを $\phi_t$ と書き、初期値 $x_0=(q_0,p_0)$ から出た軌道 $\phi_s(x_0)$ に沿って $F$ の変化を見ると、$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} s}F(s,\phi_s(x_0))=-\frac{\mathrm{i}}{\hbar}(\theta(X_H)+H)\bigl(\phi_s(x_0)\bigr)\,F$ を積分して

$$F\bigl(t,\phi_t(x_0)\bigr)=\exp\Bigl[-\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\int_0^t\bigl(\theta(X_H)+H\bigr)\bigl(\phi_s(x_0)\bigr)\,\mathrm{d} s\Bigr]\,F(0,x_0)\tag{10.3.9}$$

を得る。$\theta=-p\,\mathrm{d} q$ では $\theta(X_H)+H=-L$ だったので、指数は $(\mathrm{i}/\hbar)\int_0^tL\,\mathrm{d} s=(\mathrm{i}/\hbar)S_t(x_0)$ で、$S_t$ は軌道に沿う作用である。

流れが全時間で定義される（完全な）ときは、この式でユニタリ群 $U_t$ が定まり、Stone の定理によってその生成子として $\mathcal Q_{\mathrm{pre}}(H)$ の自己共役な拡張が決まる。作用の位相 $\mathrm{e}^{\mathrm{i} S/\hbar}$ は、経路積分で古典の経路が受け持つ位相と同じものである（第3部第4章）。違いは、経路積分では1つの終点に向かう多くの経路の位相が干渉するのに対し、前量子化では相空間の点 $x_0$ ごとに軌道が1本に決まり、干渉が起きないことである。相空間の点は位置と運動量を同時に指定しているので、不確定性関係が入る余地がない。5節で見る「前量子化は大きすぎる」はこの性質の言い換えである。