接続と曲率：$\theta$ をベクトルポテンシャルとして読む

量子力学の様々な構成方法　第10部 第3章 §10.3.2　★★★ 前量子化は $\nabla=\mathrm{d}+(\mathrm{i}/\hbar)\theta$ の共変微分で、括弧が保たれる理由は曲率が $(\mathrm{i}/\hbar)\omega$ であること。荷電粒子の最小結合と同じ式

共変微分

式 (10.3.2) の最初の2項をまとめると

$$-\mathrm{i}\hbar X_f+\theta(X_f)=-\mathrm{i}\hbar\Bigl(X_f+\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\theta(X_f)\Bigr)=-\mathrm{i}\hbar\,\nabla_{X_f},\qquad \nabla_X=X+\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\theta(X)\tag{10.3.4}$$

となる。$\nabla=\mathrm{d}+(\mathrm{i}/\hbar)\theta$ を共変微分（または接続）と呼ぶ。前量子化の演算子は

$$\mathcal Q_{\mathrm{pre}}(f)=-\mathrm{i}\hbar\,\nabla_{X_f}+f\tag{10.3.5}$$

と書ける。この形は、荷電粒子の量子力学で微分 $\partial_j$ を共変微分 $D_j=\partial_j-(\mathrm{i} e/\hbar)A^j$ に置き換える最小結合と同じ構造をしている（電荷 $+e$ の粒子。記法の正本の $D_\mu=\partial_\mu+\mathrm{i} qA_\mu/\hbar$ を3次元の成分で書いたもの）。配位空間の1形式 $\theta_{\mathrm{mag}}=-e\,\bm{A}\cdot\mathrm{d}\bm{x}$ を作ると $D=\mathrm{d}+(\mathrm{i}/\hbar)\theta_{\mathrm{mag}}$ となり、前量子化の $\theta$ と同じ位置に入る。運動量 $p$ を $e\bm{A}$ に読み替えると $\theta=-p\,\mathrm{d} q$ と $\theta_{\mathrm{mag}}=-e\bm{A}\cdot\mathrm{d}\bm{x}$ は同じ形である。

ゲージ変換

$\theta$ は $\omega$ から一意に決まらず、$\theta\to\theta'=\theta+\mathrm{d}\lambda$（$\lambda$ は実関数）と取り替えてもよい（第10部第2章）。このとき波動関数を $F\to F'=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\lambda/\hbar}F$ と取り替えると

$$\nabla'F'=\Bigl(\mathrm{d}+\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\theta+\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\mathrm{d}\lambda\Bigr)\bigl(\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\lambda/\hbar}F\bigr) =\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\lambda/\hbar}\Bigl(\mathrm{d} F-\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\mathrm{d}\lambda\,F+\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\theta F+\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\mathrm{d}\lambda\,F\Bigr)=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\lambda/\hbar}\,\nabla F$$

となり、共変微分は位相を掛けるだけの変換を受ける。したがって

$$\mathcal Q'_{\mathrm{pre}}(f)\,\bigl(\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\lambda/\hbar}F\bigr)=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\lambda/\hbar}\,\mathcal Q_{\mathrm{pre}}(f)F,\qquad \mathcal Q'_{\mathrm{pre}}(f)=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\lambda/\hbar}\,\mathcal Q_{\mathrm{pre}}(f)\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\lambda/\hbar}\tag{10.3.6}$$

で、$\theta$ の選び方を替えた2つの前量子化はユニタリ同値である（掛け算 $\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\lambda/\hbar}$ は $\lvert \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\lambda/\hbar}\rvert =1$ なのでノルムを保つ）。これは電磁気のゲージ変換 $\bm{A}\to\bm{A}+\nabla\Lambda$、$\psi\to\mathrm{e}^{\mathrm{i} e\Lambda/\hbar}\psi$ と同じで、$\lambda=-e\Lambda$ と対応する。物理的な内容（スペクトル・期待値）は $\theta$ の選び方によらず、$\omega=\mathrm{d}\theta$ だけで決まる。

曲率と括弧

2つのベクトル場 $U,W$ について

$$\left[\nabla_U,\,\nabla_W\right]-\nabla_{\left[U,\,W\right]}=\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\,\omega(U,W)\tag{10.3.7}$$

が成り立つ。実際、左辺の微分の部分は $\left[U,\,W\right]-\left[U,\,W\right]=0$ で消え、掛け算の部分は$\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\bigl(U\theta(W)-W\theta(U)-\theta(\left[U,\,W\right])\bigr)=\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\mathrm{d}\theta(U,W)$ となる。左辺を接続の曲率と呼ぶ。接続 $\nabla$ の曲率は2形式 $(\mathrm{i}/\hbar)\omega$ である。電磁気では $D$ の曲率は $\left[D_x,\,D_y\right]=-(\mathrm{i} e/\hbar)B_z$ で、磁場に $-e/\hbar$ を掛けたものになる。相空間の $\omega/\hbar$ は「相空間に一様にかかった磁場」の役を受け持つ。

証明

$\left[\mathcal Q(f),\,\mathcal Q(g)\right]=-\hbar^2\left[\nabla_{X_f},\,\nabla_{X_g}\right]-\mathrm{i}\hbar\left[\nabla_{X_f},\,g\right]-\mathrm{i}\hbar\left[f,\,\nabla_{X_g}\right]$ で、$\left[\nabla_X,\,g\right]=X(g)$（掛け算の部分は $g$ と交換する）から第2・3項は $-\mathrm{i}\hbar X_f(g)+\mathrm{i}\hbar X_g(f)=2\mathrm{i}\hbar\{f,g\}$。第1項は曲率の定義と $\left[X_f,\,X_g\right]=-X_{\{f,g\}}$ から $-\hbar^2\bigl(R(X_f,X_g)-\nabla_{X_{\{f,g\}}}\bigr)$。$\mathrm{i}\hbar\,\mathcal Q(\{f,g\})=\hbar^2\nabla_{X_{\{f,g\}}}+\mathrm{i}\hbar\{f,g\}$ を引くと主張の式を得る。右辺が0になるのは $R(X_f,X_g)=(\mathrm{i}/\hbar)\{f,g\}=(\mathrm{i}/\hbar)\omega(X_f,X_g)$ のときで、各点でハミルトンベクトル場 $X_f$ はすべての接ベクトルを作れる（$\omega$ の非退化性。$f$ として座標の1次関数を取ればよい）ので、これは2形式として $R=(\mathrm{i}/\hbar)\omega$ と同値である。

定理 10.3.3 は、1節で係数 $c$ を合わせた計算の意味を述べている。括弧を保つために合わせたのは、接続の曲率という1つの量で、$\theta$ の選び方には依らない。前量子化とは「曲率が $(\mathrm{i}/\hbar)\omega$ の接続を探すこと」と言い換えられる。$\mathbb{R}^{2f_{\mathrm d}}$ では $\theta=-\sum_ip_i\,\mathrm{d} q_i$ と置くだけで見つかるが、4節で見るように相空間が球面のように閉じていると、この問題に答えが無いことがある。