整数条件：ホロノミーと位相の一価性

量子力学の様々な構成方法　第10部 第3章 §10.3.4　★★★ 閉じた曲面の上の $\omega$ の積分が $2\pi\hbar$ の整数倍でないと、曲率 $(\mathrm{i}/\hbar)\omega$ の線束は存在しない。Aharonov–Bohm・Dirac の単極子・スピン $2S/\hbar\in\mathbb{Z}$ が同じ条件

平行移動とホロノミー

曲線 $\gamma(s)$（$0\le s\le1$）に沿って $\nabla_{\dot\gamma}F=0$ となるように波動関数の値を運ぶことを平行移動と呼ぶ。1つの開集合の中では$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} s}F(\gamma(s))+\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\theta(\dot\gamma)F=0$ なので

$$F(\gamma(1))=\exp\Bigl(-\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\int_\gamma\theta\Bigr)F(\gamma(0)).\tag{10.3.10}$$

閉曲線 $\gamma$ を一周して戻ったときに掛かる位相をホロノミーと呼び、$\mathrm{hol}(\gamma)$ と書く。$\gamma$ が円板 $D$ の境界で、$D$ が1つの開集合に収まるなら、Stokes の定理から

$$\mathrm{hol}(\gamma)=\exp\Bigl(-\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\oint_\gamma\theta\Bigr)=\exp\Bigl(-\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\int_D\omega\Bigr)\tag{10.3.11}$$

である（$\gamma$ の向きは $D$ の向きから決まる境界の向き）。ゲージ変換 $\theta\to\theta+\mathrm{d}\lambda$ で $\oint\mathrm{d}\lambda=0$ なので、ホロノミーはゲージによらない。$D$ が1つの開集合に収まらないときも、$D$ を小さな片に分け、各片の境界のホロノミーを掛け合わせると内部の辺の寄与が往復で打ち消し合うので、式 (10.3.11) は $D$ 全体でそのまま成り立つ（ホロノミーが位相、すなわち可換な群の元なので掛ける順序を気にしなくてよい）。

整数条件

必要性の証明

閉曲面 $\Sigma$ の上に閉曲線 $\gamma$ を描き、$\Sigma$ を2つの面 $\Sigma_1$、$\Sigma_2$ に分ける（図 10.3.1）。$\gamma$ に $\Sigma_1$ の境界としての向きを付けると、$\Sigma_2$ の境界としては逆向きになる。ホロノミーを $\Sigma_1$ で計算すると $\exp(-\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\int_{\Sigma_1}\omega)$、$\Sigma_2$ で計算すると（向きが逆なので）$\exp(+\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\int_{\Sigma_2}\omega)$。ホロノミーは線束と曲線 $\gamma$ だけで決まる量なので2つは等しく、$\exp(-\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\int_\Sigma\omega)=1$、すなわち $\int_\Sigma\omega\in2\pi\hbar\mathbb{Z}$ である。

十分性（線束を実際に組み立てること）は、各開集合の $\theta_\alpha$ を貼り合わせる位相 $\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\lambda_{\alpha\beta}/\hbar}$ が3つの開集合の重なりで矛盾しないことを、Čech コホモロジーを使って示すもので、ここでは引用にとどめる。B. Kostant がこの形で前量子化を定式化した¹1B. Kostant (1970), “Quantization and unitary representations”, Lecture Notes in Mathematics 170, 87–208.下の脚注へ閉じる。同じ時期に J.-M. Souriau も同じ構成に達している²2J.-M. Souriau (1970), Structure des systèmes dynamiques, Dunod.下の脚注へ閉じる。$M$ が単連結でないときは、同じ曲率の線束が複数あり、それらは閉曲線のまわりの余分なホロノミー（曲率を持たない平らな接続）で区別される。これは、磁場がかかっていない領域を一周しても磁束の分だけ位相が付く Aharonov–Bohm の状況と同じである。

例：平面・球面・単極子

平面と余接束。$\mathbb{R}^{2f_{\mathrm d}}$ や、配位空間 $Q$ の余接束 $T^*Q$（普通の力学の相空間）では $\omega=\mathrm{d}\theta$ が全体で成り立つので、どの閉曲面でも Stokes の定理から $\int_\Sigma\omega=0$ で、条件は自動的に満たされる。普通の力学の前量子化では、整数条件は表に出てこない。

球面。第10部第2章の球面の面積形式 $\omega_S=S\sin\vartheta\,\mathrm{d}\vartheta\wedge\mathrm{d}\varphi$（$S>0$）では全体の積分が $4\pi S$ なので、条件 (10.3.12) は

$$\frac{4\pi S}{2\pi\hbar}=\frac{2S}{\hbar}\in\mathbb{Z}\tag{10.3.13}$$

となる。球面全体で定義される $\theta$ は無いので、北極のまわりの $\theta_N=S(1-\cos\vartheta)\,\mathrm{d}\varphi$（北極 $\vartheta=0$ で0になり滑らか）と、南極のまわりの $\theta_S=-S(1+\cos\vartheta)\,\mathrm{d}\varphi$ の2枚を使う。どちらも $\mathrm{d}\theta=S\sin\vartheta\,\mathrm{d}\vartheta\wedge\mathrm{d}\varphi$ を満たし、赤道付近の重なりで$\theta_N-\theta_S=2S\,\mathrm{d}\varphi=\mathrm{d}(2S\varphi)$ である。ゲージ変換の規則から、切断の2つの表し方は $F_N=\mathrm{e}^{-2\mathrm{i} S\varphi/\hbar}F_S$ で結ばれる。$\varphi$ を一周させても値が1つに定まる（一価である）ためには $\mathrm{e}^{-2\mathrm{i} S\cdot2\pi/\hbar}=1$、すなわち $2S/\hbar\in\mathbb{Z}$ が必要で、式 (10.3.13) と同じ条件が直接出る。$S$ をスピンの大きさと読むと、$S=\hbar/2,\hbar,3\hbar/2,\dots$ だけが許される。量子化された Hilbert 空間の次元が $2S/\hbar+1$ になることは、偏極を入れた第10部第5章で示す（第10部第5章）。

Dirac の単極子。原点に磁荷を置き、それが出す全磁束を $g$（単位 Wb）とする。原点を囲む球面の上で、電荷 $+e$ の粒子の共変微分の曲率は $-(\mathrm{i} e/\hbar)B$ で、例題 10.3.2 と同じく前量子化の $\omega$ に $-eB$ の面積分が対応する。荷電粒子の波動関数が球面の上で矛盾なく定義される条件は、整数条件と同じ形の

$$\frac{eg}{2\pi\hbar}\in\mathbb{Z},\qquad g=n\,\frac{h}{e}\tag{10.3.14}$$

である。P. A. M. Dirac は、単極子が1つでも存在すれば電荷が量子化されなければならないことをこの条件から導いた³3P. A. M. Dirac (1931), Proc. R. Soc. Lond. A 133, 60–72.下の脚注へ閉じる。単極子のまわりの「Dirac の紐」は、球面の上で $\theta_N$ と $\theta_S$ のどちらか1枚だけを無理に全体へ広げたときの特異点で、2枚に分ければ紐は不要になる。同じ構造はスピンの Berry 位相にも現れ、パラメータ空間の縮退点が単極子の役を受け持つ（解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第4部第9章）。

Aharonov–Bohm 効果。細いソレノイドの外では磁場が0でも、ソレノイドを一周する経路のホロノミーは式 (10.3.11) の $\exp(\mathrm{i} e\Phi/\hbar)$（$\Phi$ は内部の磁束）で、二つの経路で干渉させると縞が $e\Phi/h$ 本分ずれる⁴4Y. Aharonov and D. Bohm (1959), Phys. Rev. 115, 485–491.下の脚注へ閉じる。外村彰らは、超伝導体で磁場を完全に閉じ込めたトロイダル磁石を電子線ホログラフィーで調べ、この位相のずれを確かめた⁵5A. Tonomura et al. (1986), Phys. Rev. Lett. 56, 792–795.下の脚注へ閉じる。磁場の無い領域にいる粒子が位相を受けることは、波動関数が単なる関数でなく「接続を持つ線束の切断」であることの実験的な証拠と読める（第3部第7章）。

1　B. Kostant (1970), “Quantization and unitary representations”, Lecture Notes in Mathematics 170, 87–208.

2　J.-M. Souriau (1970), Structure des systèmes dynamiques, Dunod.

3　P. A. M. Dirac (1931), Proc. R. Soc. Lond. A 133, 60–72.

4　Y. Aharonov and D. Bohm (1959), Phys. Rev. 115, 485–491.

5　A. Tonomura et al. (1986), Phys. Rev. Lett. 56, 792–795.