この章のまとめ

(1) $\omega_B=c\,\mathrm{d} x\wedge\mathrm{d} y$ に $X=X^x\partial_x+X^y\partial_y$ を入れると $\iota_X\omega_B=c(X^x\mathrm{d} y-X^y\mathrm{d} x)$。これを $\mathrm{d} f=f_x\mathrm{d} x+f_y\mathrm{d} y$ と比べて$X_f=\frac1c(f_y\,\partial_x-f_x\,\partial_y)$。したがって $X_x=-\frac1c\partial_y$、$X_y=\frac1c\partial_x$。括弧は $\{f,g\}=\omega_B(X_f,X_g)=c\,(X_f^xX_g^y-X_f^yX_g^x)$ で、$\{x,y\}=c\bigl(0\cdot0-(-\tfrac1c)(\tfrac1c)\bigr)=\frac1c$。$c=-eB$ で $\{x,y\}=-1/(eB)$ となり、案内中心の括弧と一致する。案内中心の2つの座標は互いに共役な正準変数で、その「平面」が独立した相空間になる。

(2) $\mathrm{d}\theta=\frac c2(\mathrm{d} x\wedge\mathrm{d} y-\mathrm{d} y\wedge\mathrm{d} x)=c\,\mathrm{d} x\wedge\mathrm{d} y=\omega_B$。$\theta(X_x)=\frac c2\bigl(x\,\mathrm{d} y(X_x)-y\,\mathrm{d} x(X_x)\bigr)=\frac c2\cdot x\cdot(-\tfrac1c)=-\frac x2$、$\theta(X_y)=\frac c2\bigl(-y\cdot\tfrac1c\bigr)=-\frac y2$。よって

$$\mathcal Q_{\mathrm{pre}}(x)=\frac{\mathrm{i}\hbar}{c}\partial_y-\frac x2+x=\frac x2+\frac{\mathrm{i}\hbar}{c}\partial_y,\qquad \mathcal Q_{\mathrm{pre}}(y)=\frac y2-\frac{\mathrm{i}\hbar}{c}\partial_x.$$

交換子は $\left[\frac x2,\,-\frac{\mathrm{i}\hbar}c\partial_x\right]=\frac{\mathrm{i}\hbar}{2c}$ と $\left[\frac{\mathrm{i}\hbar}c\partial_y,\,\frac y2\right]=\frac{\mathrm{i}\hbar}{2c}$ の和で $\mathrm{i}\hbar/c=\mathrm{i}\hbar\{x,y\}$。命題 10.3.2 の (P3) どおりである。

(3) 対称ゲージ $\bm{A}=(-By/2,Bx/2)$ で $\pi_x=-\mathrm{i}\hbar\partial_x+\frac{eB}2y$、$\pi_y=-\mathrm{i}\hbar\partial_y-\frac{eB}2x$。$x+\pi_y/(eB)=x-\frac{\mathrm{i}\hbar}{eB}\partial_y-\frac x2=\frac x2+\frac{\mathrm{i}\hbar}{c}\partial_y$（$c=-eB$）で $\mathcal Q_{\mathrm{pre}}(x)$ に一致し、同様に $y-\pi_x/(eB)=\frac y2+\frac{\mathrm{i}\hbar}{eB}\partial_x=\mathcal Q_{\mathrm{pre}}(y)$。交換子は、$\mathcal Q_{\mathrm{pre}}(x)=x+\pi_y/(eB)$ の形を使うと$\left[\mathcal Q_{\mathrm{pre}}(x),\,\pi_y\right]=\left[x,\,\pi_y\right]=\left[x,\,-\mathrm{i}\hbar\partial_y-\tfrac{eB}2x\right]=0$、$\left[\mathcal Q_{\mathrm{pre}}(x),\,\pi_x\right]=\left[x,\,\pi_x\right]+\left[\pi_y,\,\pi_x\right]/(eB)=\mathrm{i}\hbar+(-\mathrm{i}\hbar eB)/(eB)=0$。$y$ についても同様である。例題 10.3.2 で見たとおり $\left[\pi_x,\,\pi_y\right]=\mathrm{i}\hbar eB$ は運動（サイクロトロン運動）の自由度を表し、前量子化の $\mathcal Q_{\mathrm{pre}}(x),\mathcal Q_{\mathrm{pre}}(y)$ はそれと交換する別の自由度、すなわち案内中心を表す。平面の上の関数の空間 $L^2(\mathbb{R}^2)$ が「サイクロトロン運動 $\otimes$ 案内中心」に分かれることは、定理 10.3.6 の $L^2(\mathbb{R}_u)\otimes L^2(\mathbb{R}_v)$ の分解と同じ構造である。

(4) トーラス全体の積分は $\int\omega_B=cA$ で、整数条件 (10.3.12) は $\lvert c\rvert A/(2\pi\hbar)=eBA/h\in\mathbb{Z}$。$B=1\,\mathrm T$、$A=10^{-12}\,\mathrm m^2$ では $eBA/h=10^{-12}/(4.136\times10^{-15})=241.8$ で整数でない。$N=242$ にするには $B=242\,h/(eA)=1.0008\,\mathrm T$ とすればよい。周期的に閉じた試料を貫く磁束は磁束量子 $h/e$ の整数倍でなければならない、という条件である。

(5) Landau 準位の縮退度は単位面積あたり $eB/h$（解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第4部第6章）で、面積 $A$ では $eBA/h=N$ となり一致する。$1\,\mathrm T$ では $eB/h=1/(4.136\times10^{-15}\,\mathrm{Wb})\times1\,\mathrm T=2.418\times10^{14}\,\mathrm m^{-2}$。案内中心の相空間（面積 $A$）を前量子化して偏極すると、相空間の面積 $\lvert c\rvert A$ を $2\pi\hbar$ で割った数 $N$ だけの状態が残る。これが1つの Landau 準位の縮退であり、前量子化の整数条件が状態の数そのものを決めていることになる。偏極した空間の次元が $N$ であること（トーラス上の正則な切断の数え上げ）は第4章で扱う。