この章のまとめ

(1) 指数関数に微分を当てると $\partial_q\to\mathrm{i}\alpha$、$\partial_p\to\mathrm{i}\beta$（左）、$\mathrm{i}\alpha'$、$\mathrm{i}\beta'$（右）になるので、指数の中身は$\frac{\mathrm{i}\hbar}{2\kappa}[(\mathrm{i}\alpha)(\mathrm{i}\beta')-(\mathrm{i}\beta)(\mathrm{i}\alpha')]=-\frac{\mathrm{i}\hbar}{2\kappa}(\alpha\beta'-\beta\alpha')$ という数で、

$$\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\alpha q+\beta p)}\star\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\alpha'q+\beta'p)}=\exp\Bigl[-\frac{\mathrm{i}\hbar}{2\kappa}(\alpha\beta'-\beta\alpha')\Bigr]\mathrm{e}^{\mathrm{i}((\alpha+\alpha')q+(\beta+\beta')p)}.$$

$\alpha=2\pi m/a$、$\beta=2\pi n/b$ と置けば、$e_{mn}\star e_{m'n'}$ は位相 $\exp[-\frac{2\pi^2\mathrm{i}\hbar}{\kappa ab}(mn'-nm')]$ を掛けた $e_{m+m',n+n'}$ である。周期関数どうしの $\star$ 積がまた周期関数になるので、$\star$ 積はトーラスの上で閉じる。

(2) $U\star V$ は $(m,n,m',n')=(1,0,0,1)$ で位相 $\mathrm{e}^{-2\pi^2\mathrm{i}\hbar/(\kappa ab)}$、$V\star U$ は $(0,1,1,0)$ で $\mathrm{e}^{+2\pi^2\mathrm{i}\hbar/(\kappa ab)}$。比を取って

$$U\star V=\mathrm{e}^{-2\pi\mathrm{i}\vartheta}V\star U,\qquad\vartheta=\frac{2\pi\hbar}{\kappa ab}.$$

位相は $\hbar$ の任意の値で意味を持ち、結合律も指数の中身が双線形であることから成り立つ。したがってこの $\star$ 積は整数条件なしに定義される（$\vartheta$ が無理数のときは非可換トーラスと呼ばれる代数になる）。1節の要請の (F3) は、$U\star V-V\star U=(\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\pi\vartheta}-\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi\vartheta})UV\approx-2\pi\mathrm{i}\vartheta\,UV$ が $\mathrm{i}\hbar\{U,V\}=\mathrm{i}\hbar\cdot\frac1\kappa(2\pi\mathrm{i}/a)(2\pi\mathrm{i}/b)UV=-2\pi\mathrm{i}\vartheta\,UV$ と最低次で一致することにあたる。

(3) $(U_NV_N)| k \rangle =U_N| k+1 \rangle =\mathrm{e}^{-2\pi\mathrm{i}(k+1)/N}| k+1 \rangle$、$(V_NU_N)| k \rangle =\mathrm{e}^{-2\pi\mathrm{i} k/N}| k+1 \rangle$ なので $U_NV_N=\mathrm{e}^{-2\pi\mathrm{i}/N}V_NU_N$ で、$\vartheta=1/N$ の関係を満たす。$U_N^N=V_N^N=1$ も成り立つ。$\vartheta=1/N$ は $\kappa ab/(2\pi\hbar)=N$ と同じで、これは $\int_{T^2}\omega/(2\pi\hbar)$ そのものである。第10部第3章の整数条件が満たされ、第10部第4章で偏極した切断の空間の次元がちょうど $N$ になったことと一致する。無理数の $\vartheta$ で $d$ 次元の行列 $U,V$（可逆）が $UV=\mathrm{e}^{-2\pi\mathrm{i}\vartheta}VU$ を満たすとすると、両辺の行列式を取って $\det U\det V=\mathrm{e}^{-2\pi\mathrm{i}\vartheta d}\det V\det U$、すなわち $\mathrm{e}^{-2\pi\mathrm{i}\vartheta d}=1$ で、$\vartheta d$ が整数になり矛盾する。幾何学的量子化の整数条件は、変形量子化の側では「有限次元の表現があるか」という条件として現れる（$\vartheta=r/N$ の有理数一般でも $N$ 次元の表現はあるが、幾何学的量子化の線束が存在するのは $1/\vartheta$ が整数のときだけである）。

(4) $U_N^mV_N^n$ は $n\not\equiv0\pmod N$ なら対角成分を持たずトレース0、$n\equiv0$ なら $U_N^m$ で、トレースは $\sum_k\mathrm{e}^{-2\pi\mathrm{i} mk/N}=N\delta_{m\equiv0}$。$\lvert m\rvert ,\lvert n\rvert <N$ では $N\delta_{m0}\delta_{n0}$。右辺は $\int_0^a\int_0^be_{mn}\,\kappa\,\mathrm{d} q\,\mathrm{d} p/(2\pi\hbar)=\frac{\kappa ab}{2\pi\hbar}\delta_{m0}\delta_{n0}=N\delta_{m0}\delta_{n0}$。一致する。有限次元の表現のトレースが位相空間の積分 $\int(\cdot)\,\omega/(2\pi\hbar)$ に対応することは、第5部第2章のトレースの公式 $\operatorname{Tr}\hat A=\int A_{\mathrm W}\,\mathrm{d} q\,\mathrm{d} p/(2\pi\hbar)$ のトーラス版で、$\operatorname{Tr}1=N$ が状態の数である。$\lvert m\rvert \ge N$ では両者が食い違い、有限次元の表現は $e_{mn}$ と $e_{m+N,n}$ を区別しない。表現は代数の一部の情報しか写さない。

(5) $N=eBab/h=1.602\times10^{-19}\times1\times10^{-12}/(6.626\times10^{-34})=241.8$、$\vartheta=1/N=4.136\times10^{-3}$。$N$ が整数でないので、幾何学的量子化では前量子化の線束が存在せず、Hilbert 空間が作れない（第10部第3章の総合問題と同じ結論）。変形量子化では $\vartheta=4.136\times10^{-3}$ の $\star$ 積がそのまま定義されるが、有限次元の表現は無く、「状態の数」は定まらない。$N=242$ にするには $B=242h/(e\cdot ab)=1.0008\,\mathrm T$ で、このときは両方の道が $242$ 次元の同じ表現（時計と移動の行列）を与え、Landau 準位の縮退度 $eBab/h$ と一致する。