この章のまとめ

(1) $\hat\rho=\frac12(\hat 1+\frac12\sigma_x)$ の固有値は $\frac34$ と $\frac14$、固有ベクトルは $\sigma_x=\pm1$ の状態なので、$\bm{r}=\frac34(1,0,0)+\frac14(-1,0,0)$。$z$ 方向の弦は $\bm{r}+s\bm{e}_z$ が球面に当たる $s=\pm\frac{\sqrt3}{2}$ で終わり、$\bm{r}=\frac12\bigl(\frac12,0,\frac{\sqrt3}{2}\bigr)+\frac12\bigl(\frac12,0,-\frac{\sqrt3}{2}\bigr)$。どちらも純粋な状態の混合で、球の点はこのように無数の弦の交点になる。古典ビットの状態空間は線分（単体）なので、$(\frac34,\frac14)=\frac34\bm{\delta}_1+\frac14\bm{\delta}_2$ の1通りしかない。

(2) $\Delta=0$ では (9.4.5) が $\bm{r}=(0,-\sin\Omega t,-\cos\Omega t)$ になり、$\Omega t=\frac\pi2$ で $\bm{r}=(0,-1,0)$。次に (9.4.8) を $t=T_1$、$\mu=\mathrm{e}^{-1}$、$\lambda=\mathrm{e}^{-T_1/T_2}=\mathrm{e}^{-1/2}$ で当てると

$$\bm{r}=\bigl(0,\,-\mathrm{e}^{-1/2},\,-1+\mathrm{e}^{-1}\bigr)\approx(0,-0.6065,-0.6321),\qquad P_e=\frac{1+r_z}{2}=\frac{\mathrm{e}^{-1}}{2}\approx0.184 .$$

長さは $\lvert \bm{r}\rvert ^2=\lambda^2+(1-\mu)^2$ で、$T_2=2T_1$ では $\lambda^2=\mu$ なので $\lvert \bm{r}\rvert ^2=1-\mu+\mu^2\approx0.768$、$\lvert \bm{r}\rvert \approx0.876$ である。境目 $\lambda^2=\mu$ では、南極の近くの純粋な状態の像が球面に接したまま動く（図 9.4.2 の曲率の一致）。$(0,-1,0)$ は南極から離れた赤道の点なので、像は球面から離れて $\lvert \bm{r}\rvert <1$ になる。検算では Lindblad 方程式を直接積分して同じ $\bm{r}$ を得た。

(3) 相関で見ると $E_{xy}(p_{1/\sqrt2})=\frac1{\sqrt2}(-1)^{xy}$ なので $S=2\sqrt2$。PR 箱は $S=4$、局所的な箱は $S\le2$ なので、$2\sqrt2=4w+(1-w)S_{\mathcal L}\le4w+2(1-w)$ から $w\ge\sqrt2-1\approx0.414$。$w=\sqrt2-1$ のとき $p_{\mathcal L}=\bigl(p_{1/\sqrt2}-wp_{\mathrm{PR}}\bigr)/(1-w)$ の相関は $\frac{\frac1{\sqrt2}-(\sqrt2-1)}{2-\sqrt2}(-1)^{xy}=\frac12(-1)^{xy}$ で、$p_{\mathcal L}=p_{1/2}$ である。$p_{1/2}$ は $S=2$ で、16個の決定的な戦略の混合に書ける（検算では線形計画で確かめた）ので局所的である。よって $p_{1/\sqrt2}=(\sqrt2-1)p_{\mathrm{PR}}+(2-\sqrt2)p_{1/2}$ で、$w$ の最小値は $\sqrt2-1$。

(4) PR 箱の条件付き確率は $p(b|y;x,a)=p(ab|xy)/p(a|x)=1$（$b=a\oplus xy$）か $0$ なので、条件付きの状態は正方形の頂点になる。$x=0$ では $b=a$ で、$a=0$ のとき $(1,1)$、$a=1$ のとき $(0,0)$。$x=1$ では $b=a\oplus y$ で、$a=0$ のとき $(1,0)$、$a=1$ のとき $(0,1)$ である。$a$ はどちらも確率 $\frac12$ で出るので、B の状態は $x=0$ なら $\frac12(1,1)+\frac12(0,0)$、$x=1$ なら $\frac12(1,0)+\frac12(0,1)$ の混合で、どちらも中心 $(\frac12,\frac12)$ に等しい。2本の対角線による中心の2通りの分解（図 9.4.1）を、A が入力で選んでいる。B は $a$ を知らないので、手元の状態は $x$ によらず中心のままで、統計からは $x$ を読み取れない。分解が一意でない状態空間だから、A は異なる分解を選べても B の平均の状態を変えられない。

(5) 古典ビットの状態空間は単体なので、B の周辺の状態の分解は1通りしかなく、A がどの入力を選んでも B の条件付きの状態の組は同じ分解になる。A の選択で B の側のアンサンブルを切り替えることができないので、操舵は起きない（古典の相関は $S\le2$）。量子ビットでは球の弦が無数にあるので操舵は起きる（第4部第3章）。それでも $S$ は $2\sqrt2$ を超えない。状態空間が正方形でなく球で、効果が2重の円錐（(9.4.3)）で、2つの測定の効果 $\frac12(1+\bm{n}_0\cdot\bm{r})$ と $\frac12(1+\bm{n}_1\cdot\bm{r})$ の値は独立に $0$ か $1$ に決められない（gbit の頂点のように両方が確定した純粋な状態が無い）。gbit では両方の測定が確定した頂点があり、(4) のように頂点へ操舵して $a\oplus b=xy$ を4つの入力すべてで満たせる。単体・球・正方形という状態空間の形の違いが、$2$・$2\sqrt2$・$4$ の違いに対応している。