比べる2つの分布：量子の箱と局所の箱

相対エントロピーから情報と物理を組み立てる　第3部 第5章 §3.5.1　★★★ 観測者2人の入力と出力の条件付き分布（箱）を定義し、局所的な隠れた変数の模型が出せる箱の集合 $\mathcal L$ が16個の決定的な戦略の凸包であることを示す

前の章（第3部第4章）では、積状態の混合で書けない状態をエンタングルした状態と呼び、その量を密度行列の言葉で測った。そこでの議論は、状態が密度行列 $\hat\rho_{AB}$ で書けること、測定が射影測定で書けることを前提にしていた。この章では、その前提を外して、実験で直接見える量だけを比べる。2人の観測者 Alice と Bob が、それぞれ手元の装置の設定 $x$、$y$ を選び、結果 $a$、$b$ を記録する。何度も繰り返すと、条件付きの分布 $p(ab\,|\,xy)$ が得られる。この分布を、この章では箱と呼ぶ。

この章で比べる2つの分布は、エンタングルした状態を測って得られる箱と、局所的な隠れた変数の模型（2つの粒子が出発のときに共有した情報 $\lambda$ と、それぞれの手元の設定だけで結果が決まる模型）が出せる箱の集合 $\mathcal L$ である。当てる $D$ の性質は、非負性・結合凸性・データ処理不等式の3つである。出てくるものは次の4つである。第一に、$\mathcal L$ の箱は CHSH 不等式 $\lvert S\rvert \le2$ を満たし、量子の箱は $S=2\sqrt2$ に達する。第二に、量子力学の中では $2\sqrt2$ が上限（Tsirelson 限界）である。第三に、量子の箱と $\mathcal L$ の間の相対エントロピーの最小値 $D_{\mathcal L}$ が、局所の模型を実験で棄却するのに要る試行の回数を決め、雑音を通すと $D_{\mathcal L}$ は増えない。第四に、CHSH 不等式の破れから、装置の中身を信用しなくても、エンタングルメントの存在と盗聴者の情報の上限が言える。

この章の対数は自然対数で、情報量の単位は nat とする。量子ビットの Pauli 行列は記法の正本に従って $X,Y,Z$ と書き、恒等演算子を $\mathbf 1$ と書く。前の2章で $\hat\rho_p=p| \Phi^+ \rangle \langle \Phi^+ |+(1-p)\mathbf 1/4$ と書いた Werner 状態は、この章では箱の記号 $p$ と区別するため、混ぜる割合を $V$ として $\hat\rho_V$ と書く。結果の値 $a,b$ は $\pm1$ とし、設定 $x,y$ は $0$ と $1$ の2通りとする。

箱

実験の配置を図 3.5.1 に示す。中央の源が2つの粒子を作り、左右に離れた Alice と Bob へ送る。Alice は設定 $x\in\{0,1\}$ を選んで測り、結果 $a\in\{+1,-1\}$ を得る。Bob も同じく設定 $y$ を選び、結果 $b$ を得る。設定の選び方は、源が粒子を作った後で、2人がそれぞれ乱数で決めるとする。これを $n$ 回繰り返して、設定の組 $xy$ ごとに結果の組 $ab$ の頻度を数えると、$n\to\infty$ で

$$p(ab\,|\,xy),\qquad \sum_{a,b}p(ab\,|\,xy)=1\quad(\text{各 }x,y)\tag{3.5.1}$$

が得られる。4つの設定の組それぞれに4通りの結果の確率があるので、箱は16個の数で決まる。結果の積の平均

$$E_{xy}\coloneqq\sum_{a,b}ab\,p(ab\,|\,xy)\tag{3.5.2}$$

を相関と呼ぶ。$ab=+1$ なら結果がそろい、$-1$ ならそろわないので、$E_{xy}=\Pr(\text{そろう}\,|\,xy)-\Pr(\text{そろわない}\,|\,xy)$ である。

局所的な隠れた変数の模型

Bell（1964、Physics 1、195）が置いた仮定は次の2つである。1つ目は、源で作られた何らかの情報 $\lambda$ を2つの粒子が持っていき、Alice の結果の確率は $\lambda$ と Alice の設定 $x$ だけで決まり、Bob の設定 $y$ によらないこと（局所性）。2つ目は、$\lambda$ の分布 $q(\lambda)$ が2人の設定の選び方と独立であること（設定の自由）。この2つを置くと、箱は

$$p(ab\,|\,xy)=\int\mathrm{d}\lambda\,q(\lambda)\,p_A(a\,|\,x,\lambda)\,p_B(b\,|\,y,\lambda)\tag{3.5.3}$$

の形になる。$\lambda$ を固定すると、2人の結果は独立になる。結果の間の相関は、すべて共有した $\lambda$ を通して生じる。式 (3.5.3) の形に書ける箱を局所の箱と呼び、その全体を $\mathcal L$ と書く。

局所の箱の中で最も簡単なのは、$\lambda$ が4つの値 $(A_0,A_1,B_0,B_1)\in\{\pm1\}^4$ を決め、Alice は設定 $x$ のとき必ず $a=A_x$、Bob は設定 $y$ のとき必ず $b=B_y$ を出す箱である。これを決定的な戦略と呼ぶ。決定的な戦略は $2^4=16$ 個ある。

証明

決定的な戦略の混合が式 (3.5.3) の形をしているのは、混合の番号を $\lambda$ にとればよいので明らかである。逆を示す。$\lambda$ を固定したときの Alice の応答 $p_A(a\,|\,x,\lambda)$ は、設定 $x=0,1$ ごとに $\pm1$ の上の分布なので、2つの独立な乱数 $A_0,A_1$ を$\Pr(A_x=a)=p_A(a\,|\,x,\lambda)$ で引いて $a=A_x$ と出すことで実現できる。Bob も同じく独立な $B_0,B_1$ で実現できる。$\lambda$ と4つの乱数をまとめて新しい隠れた変数とみれば、各値で応答は決定的になる。

この命題から、$\mathcal L$ は16個の頂点を持つ凸多面体である。局所の箱が満たす線形の不等式は、頂点で成り立てば $\mathcal L$ 全体で成り立つので、16個の戦略を調べるだけで判定できる。次の節の CHSH 不等式はそうして示す。

具体的な局所の模型を1つ見ておく。$\lambda$ を円周上の一様な角度とし、Alice は設定に応じた角度 $\alpha$ を選んで $a=\operatorname{sign}\cos(\alpha-\lambda)$、Bob は角度 $\beta$ を選んで $b=\operatorname{sign}\cos(\beta-\lambda)$ を出す。2人の結果が食い違うのは、$\lambda$ が2つの角度の垂直方向の間に入ったときで、その範囲は円周 $2\pi$ のうち長さ $2\theta$（$\theta=\lvert \alpha-\beta\rvert \le\pi$）である。よって

$$E(\theta)=1-2\cdot\frac{2\theta}{2\pi}=1-\frac{2\theta}{\pi}\tag{3.5.4}$$

となる。それぞれの結果の周辺は一様で、$\theta=0$ で完全にそろい、$\theta=\pi$ で完全に逆になる。この模型は偏光や スピンの向きを「粒子が持っていく角度」とみた素朴な描像で、3.5.3 節で量子の相関 $\cos\theta$ と比べる。

信号を送れない箱

局所の箱では、Alice の結果の周辺分布 $p(a\,|\,xy)=\sum_bp(ab\,|\,xy)$ は $y$ によらない。式 (3.5.3) で $b$ について和をとると$p_B$ が消えるからである。同じく Bob の周辺は $x$ によらない。この条件

$$\sum_bp(ab\,|\,xy)=\sum_bp(ab\,|\,xy'),\qquad \sum_ap(ab\,|\,xy)=\sum_ap(ab\,|\,x'y)\tag{3.5.5}$$

を無信号条件と呼ぶ。これが破れていると、Bob が設定 $y$ を変えるだけで Alice の手元の統計が変わり、Alice は $y$ を読み取れる。相対エントロピーの言葉では、無信号条件は、Alice の周辺分布どうしの相対エントロピー $D\bigl(p(\cdot\,|\,x,y{=}0)\,\big\|\,p(\cdot\,|\,x,y{=}1)\bigr)$ がすべての $x$ で $0$ であることと同じである。無信号条件を満たす箱の全体を $\mathcal{NS}$ と書く。$\mathcal L\subseteq\mathcal{NS}$ であり、3.5.5 節で示すように量子の箱も $\mathcal{NS}$ に入る。