出てくるもの1：量子の箱と Tsirelson 限界

相対エントロピーから情報と物理を組み立てる　第3部 第5章 §3.5.3　★★★ $| \Phi^+ \rangle$ を測ると $E=\cos(\alpha-\beta)$ で $S=2\sqrt2$ になること、量子力学の中では $2\sqrt2$ が上限であること、2量子ビットの状態で達成できる最大の $S$ を相関行列で書くこと

量子の箱

量子力学では、Alice の設定 $x$ に固有値 $\pm1$ の観測量 $\hat A_x$（$\hat A_x^2=\mathbf 1$）が対応し、結果 $a$ の射影子は $\hat\Pi^A_{a|x}=(\mathbf 1+a\hat A_x)/2$ である。Bob も同じく $\hat B_y$ を持つ。状態 $\hat\rho_{AB}$ を測ったときの箱と相関は

$$p(ab\,|\,xy)=\operatorname{Tr}\bigl[\hat\rho_{AB}\,\hat\Pi^A_{a|x}\otimes\hat\Pi^B_{b|y}\bigr],\qquad E_{xy}=\operatorname{Tr}\bigl[\hat\rho_{AB}\,\hat A_x\otimes\hat B_y\bigr]\tag{3.5.8}$$

である。量子ビットでは、$x$–$z$ 面の向き $\alpha$ の観測量 $\hat A(\alpha)=\cos\alpha\,Z+\sin\alpha\,X$ を使う（偏光なら偏光板の角度に、スピンならStern–Gerlach の磁石の向きに当たる）。

$| \Phi^+ \rangle =(| 00 \rangle +| 11 \rangle )/\sqrt2$ では $\langle \Phi^+ | Z\otimes Z | \Phi^+ \rangle =\langle \Phi^+ | X\otimes X | \Phi^+ \rangle =1$、$\langle \Phi^+ | Z\otimes X | \Phi^+ \rangle =\langle \Phi^+ | X\otimes Z | \Phi^+ \rangle =0$ なので

$$E(\alpha,\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta=\cos(\alpha-\beta)\tag{3.5.9}$$

となる。一重項 $| \Psi^- \rangle =(| 01 \rangle -| 10 \rangle )/\sqrt2$ では同じ計算で $E=-\cos(\alpha-\beta)$ になる。どちらでも、それぞれの結果の周辺は一様である。

図 3.5.2 に、量子の相関 $\cos\theta$ と古典の角度の模型 $1-2\theta/\pi$ を並べる。$\theta=0,\pi/2,\pi$ の3点では一致するが、その間では $\lvert \cos\theta\rvert$ の方が大きい。例題 3.5.2 (3) と同じ角度 $\alpha_0=0$、$\alpha_1=\pi/2$、$\beta_0=\pi/4$、$\beta_1=-\pi/4$ にとると、

$$S=3\cos\frac\pi4-\cos\frac{3\pi}4=\frac{4}{\sqrt2}=2\sqrt2\approx2.828\tag{3.5.10}$$

となり、CHSH 不等式を破る。CHSH ゲームの勝率は式 (3.5.7) から $\frac12+\frac{\sqrt2}4=\cos^2\frac\pi8\approx0.8536$ で、局所の上限 $3/4$ を上回る。量子の箱は、4つの設定の組のどれでも勝率 $\cos^2(\pi/8)$ を持つ。局所の最適な戦略が3つの組で必ず勝ち1つの組で必ず負けるのとは、勝ち方の配り方が違う。

Tsirelson 限界

量子の箱は $S=2\sqrt2$ に達し、PR 箱は $S=4$ に達する。量子力学の中でどこまで上がれるかは次の定理で決まる。

証明

$\hat S\coloneqq\hat A_0\otimes(\hat B_0+\hat B_1)+\hat A_1\otimes(\hat B_0-\hat B_1)$ とおくと $S=\operatorname{Tr}\hat\rho_{AB}\hat S$ である。$\hat A_x^2=\hat B_y^2=\mathbf 1$ を使って2乗を展開すると、交差項が打ち消し合って

$$\hat S^2=4\,\mathbf 1\otimes\mathbf 1-\left[\hat A_0,\,\hat A_1\right]\otimes\left[\hat B_0,\,\hat B_1\right]\tag{3.5.11}$$

となる。$\lVert \hat A_0\hat A_1\rVert \le1$ だから $\lVert \left[\hat A_0,\,\hat A_1\right]\rVert \le2$、Bob の側も同じなので、$\lVert \hat S^2\rVert \le4+2\cdot2=8$、$\lVert \hat S\rVert \le2\sqrt2$ を得る。期待値は作用素ノルムを超えないので $\lvert S\rvert \le2\sqrt2$ である。

上界の $2\sqrt2$ に等号で達するには、式 (3.5.11) で $\left[\hat A_0,\,\hat A_1\right]$ のノルムが $2$ になる必要がある。量子ビットではこれは $\hat A_0$ と $\hat A_1$ が反交換する（$Z$ と $X$ のように Bloch 球の上で直交する）ことで、式 (3.5.10) の角度はこの条件を満たしている。同じ不等式は、作用素の2乗の和で書くこともできる。$\hat P_1\coloneqq\hat A_0\otimes\mathbf 1-\mathbf 1\otimes(\hat B_0+\hat B_1)/\sqrt2$、$\hat P_2\coloneqq\hat A_1\otimes\mathbf 1-\mathbf 1\otimes(\hat B_0-\hat B_1)/\sqrt2$ とおくと

$$2\sqrt2\,\mathbf 1-\hat S=\frac{1}{\sqrt2}\bigl(\hat P_1^2+\hat P_2^2\bigr)\tag{3.5.12}$$

が成り立つ（右辺を展開すると $\hat A_x^2=\hat B_y^2=\mathbf 1$ から $\hat P_1^2+\hat P_2^2=4\cdot\mathbf 1-\sqrt2\,\hat S$）。右辺は半正定値なので $\operatorname{Tr}\hat\rho_{AB}\hat S\le2\sqrt2$ が出る。等号は $\hat P_1$ と $\hat P_2$ が状態を消すとき、すなわち Alice の観測量の結果と Bob の観測量の組み合わせの結果がそろうときに成り立つ。

3つの集合の $S$ の上限を並べると、局所の箱 $\mathcal L$ で $2$、量子の箱 $\mathcal Q$ で $2\sqrt2$、無信号の箱 $\mathcal{NS}$ で $4$ となる。$\mathcal L\subsetneq\mathcal Q\subsetneq\mathcal{NS}$ である。

2量子ビットの状態で達成できる最大の $S$

2量子ビットの状態 $\hat\rho_{AB}$ が与えられたとき、観測量の向きを最適に選んで達成できる $S$ の最大値は、相関行列

$$T_{ij}\coloneqq\operatorname{Tr}\bigl[\hat\rho_{AB}\,\sigma_i\otimes\sigma_j\bigr]\qquad(\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3=X,Y,Z)\tag{3.5.13}$$

だけで決まる。

証明

観測量を単位ベクトル $\bm{a}_x,\bm{b}_y$ で $\hat A_x=\bm{a}_x\cdot\bm{\sigma}$、$\hat B_y=\bm{b}_y\cdot\bm{\sigma}$ と書くと $E_{xy}=\bm{a}_x\cdot T\bm{b}_y$ なので$S=\bm{a}_0\cdot T(\bm{b}_0+\bm{b}_1)+\bm{a}_1\cdot T(\bm{b}_0-\bm{b}_1)$。$\bm{b}_0+\bm{b}_1$ と $\bm{b}_0-\bm{b}_1$ は直交し、長さは $2\cos\phi$、$2\sin\phi$（$2\phi$ は $\bm{b}_0,\bm{b}_1$ のなす角）である。それぞれの方向の単位ベクトルを $\bm{c},\bm{c}'$ とし、$\bm{a}_0,\bm{a}_1$ をそれぞれ $T\bm{c}$、$T\bm{c}'$ の向きにとると $S=2\bigl(\cos\phi\lvert T\bm{c}\rvert +\sin\phi\lvert T\bm{c}'\rvert \bigr)$。$\phi$ について最大化すると $2\sqrt{\lvert T\bm{c}\rvert ^2+\lvert T\bm{c}'\rvert ^2}$ になり、直交する2つの単位ベクトル $\bm{c},\bm{c}'$ について $\lvert T\bm{c}\rvert ^2+\lvert T\bm{c}'\rvert ^2=\bm{c}\cdot T^{\mathsf T}T\bm{c}+\bm{c}'\cdot T^{\mathsf T}T\bm{c}'$ の最大値は$T^{\mathsf T}T$ の大きい方から2つの固有値の和 $t_1+t_2$ である。