当てる性質：CHSH 不等式

相対エントロピーから情報と物理を組み立てる　第3部 第5章 §3.5.2　★★★ 4つの相関の組み合わせ $S$ が局所の箱で $\lvert S\rvert \le2$ を満たすことを16個の頂点で確かめ、勝率 $3/4$ のゲームとして読み直す

CHSH 不等式

4つの相関を次のように組み合わせる。

$$S\coloneqq E_{00}+E_{01}+E_{10}-E_{11}.\tag{3.5.6}$$

この証明では、決定的な戦略で4つの値 $A_0,A_1,B_0,B_1$ が同時に決まっていることを使った。1回の試行で実際に測るのは $A_x$ と $B_y$ の1組だけだが、局所の模型では測らなかった方の値も $\lambda$ によって決まっている。量子力学では、交換しない2つの観測量 $\hat A_0,\hat A_1$ に同時に値を割り当てられないので、この証明の第1行が成り立たない。

2入力2出力のこの設定では、$S$ の符号と項の並べ方を変えた8通りの CHSH 不等式（と、確率が $0$ 以上という自明な不等式）で $\mathcal L$ がちょうど切り出されることが知られている（Fine 1982、Phys. Rev. Lett. 48、291）。したがって、この設定で局所の模型が存在するかどうかは CHSH 不等式だけで判定できる。

CHSH ゲーム

$S$ を勝ち負けの確率に直しておくと、3.5.4 節で相対エントロピーを計算するときに使える。審判が $x,y$ を一様に独立に選んで2人に別々に渡し、2人は相談せずに $a,b$ を返す。$ab=(-1)^{xy}$ なら2人の勝ちとする（$xy=11$ のときだけ結果を逆にし、それ以外ではそろえれば勝ち）。各 $xy$ での勝率は $\bigl(1+(-1)^{xy}E_{xy}\bigr)/2$ なので、平均の勝率は

$$\omega=\frac14\sum_{x,y}\frac{1+(-1)^{xy}E_{xy}}{2}=\frac12+\frac S8\tag{3.5.7}$$

である。CHSH 不等式は「局所の戦略の勝率は $3/4$ 以下」と同じことである。$3/4$ は、4つの $xy$ のうち3つでそろえ、$xy=11$ ではあきらめる、という戦略で達成される。