出てくるもの2：エンタングルメント・無信号・デバイス独立な鍵

相対エントロピーから情報と物理を組み立てる　第3部 第5章 §3.5.5　★★ 分離可能な状態の箱は局所であること、量子の箱は信号を送らないこと、$S$ だけから盗聴者の情報の上限が決まることを示す

分離可能な状態は局所の箱を出す

対偶をとると、CHSH 不等式の破れはエンタングルメントの証拠になる。この判定は、Hilbert 空間の次元や測定が何であるかを仮定せず、箱の数字だけで言える。この性質をデバイス独立と呼ぶ。前の章の判定（部分転置の固有値など）は、状態の密度行列を知っていることを前提にしていた。

逆は成り立たない。Werner 状態 $\hat\rho_V$ の部分転置の最小固有値は $(1-3V)/4$ なので、$V>1/3$ でエンタングルしている（第3部第4章）。一方、例題 3.5.3 から CHSH 不等式を破るのは $V>1/\sqrt2$ だけである。$1/3<V\le1/\sqrt2$ の Werner 状態は、エンタングルしているが CHSH 不等式を破らない。さらに Werner（1989、Phys. Rev. A 40、4277）は、$V\le1/2$ の範囲では、あらゆる射影測定の結果を再現する局所の模型を作った。エンタングルメントと、局所の模型で説明できない相関（非局所性）は、別の量である。

量子の箱は信号を送らない

式 (3.5.8) で $b$ について和をとると、$\sum_b\hat\Pi^B_{b|y}=\mathbf 1$ なので

$$\sum_bp(ab\,|\,xy)=\operatorname{Tr}\bigl[\hat\rho_{AB}\,\hat\Pi^A_{a|x}\otimes\mathbf 1\bigr]=\operatorname{Tr}\bigl[\hat\rho_A\,\hat\Pi^A_{a|x}\bigr]\tag{3.5.20}$$

となり、$y$ によらない（$\hat\rho_A=\operatorname{Tr}_B\hat\rho_{AB}$）。Bob の側も同じで、量子の箱は無信号条件を満たす。CHSH 不等式を破る相関があっても、Alice は自分の結果だけからは Bob の設定を読み取れない。2人の記録を古典の通信で持ち寄って比べたときにだけ、相関が見える。

デバイス独立な鍵

相関を秘密の鍵に使う発想は Ekert（1991、Phys. Rev. Lett. 67、661）にさかのぼる。Alice は CHSH の2つの設定に加えて鍵用の3つ目の設定 $\hat A_2$ を持ち、Bob の $\hat B_0$ と同じ向きに測って鍵のビットを作る。一部の試行で $S$ を測り、鍵のビットの不一致の割合 $Q$ を測る。

$S=2\sqrt2$ のとき、式 (3.5.12) の等号条件から Alice と Bob の観測量は状態の上で完全に結びつき、状態は（局所的なユニタリを除いて）$| \Phi^+ \rangle$ に決まる。純粋状態 $| \Phi^+ \rangle$ は外の系 $E$ とエンタングルできないので、盗聴者 Eve は鍵について何も知らない。$S$ が $2\sqrt2$ より小さいときは、Eve が持ちうる情報が $S$ で上から押さえられる。Acín ほか（2007、Phys. Rev. Lett. 98、230501）は、Eve が各試行に同じ攻撃をする（集団攻撃）という仮定の下で、Bob の鍵のビットと Eve の系の Holevo 量（第3部第2章）を次のように抑えた。

$$\chi_E\le h_{\mathrm b}\biggl(\frac{1+\sqrt{(S/2)^2-1}}{2}\biggr).\tag{3.5.21}$$

$S=2$ で右辺は $\ln2$（Eve が鍵のビットを完全に知りうる）、$S=2\sqrt2$ で $0$ である。Devetak–Winter の式で、1回あたりに取り出せる鍵の量は

$$r\ge\ln2-h_{\mathrm b}(Q)-\chi_E\tag{3.5.22}$$

となる。$\ln2-h_{\mathrm b}(Q)$ は Alice と Bob の鍵のビットの相互情報量（不一致の割合 $Q$ の2値対称通信路）で、そこから Eve の情報を引いた残りが秘密の鍵になる。Werner 状態の雑音（$S=2\sqrt2V$、$Q=(1-V)/2$）では、$r>0$ となるのは $V>0.857$、すなわち $Q<7.1\%$ のときである。この上限は装置の中身を仮定せずに $S$ と $Q$ だけで書かれている。詳しい議論は量子鍵配送の章（第3部第10章）で扱う。