授業で習った形との対応

相対エントロピーから情報と物理を組み立てる　第3部 第5章 §3.5.6　★★ 量子力学の授業で習う EPR・一重項・Bell の元の不等式を、この章の箱と CHSH 不等式の言葉に並べ直す

量子力学の授業では、Bell の不等式は多くの場合、次の順で出てくる。スピン $1/2$ の2粒子の一重項 $| \Psi^- \rangle$ を作り、単位ベクトル $\bm{a},\bm{b}$ の向きにスピンを測ると、結果（$\hbar/2$ 単位の $\pm1$）の積の平均は

$$E(\bm{a},\bm{b})=\langle \Psi^- | (\bm{a}\cdot\bm{\sigma})\otimes(\bm{b}\cdot\bm{\sigma}) | \Psi^- \rangle =-\bm{a}\cdot\bm{b}\tag{3.5.23}$$

である。この章の式 (3.5.9) は、同じ計算を $| \Phi^+ \rangle$ と $x$–$z$ 面の向きで行ったもので、一重項では符号が逆になる。Einstein・Podolsky・Rosen（1935）の議論は、同じ向きに測ると結果が必ず逆になる（$E(\bm{a},\bm{a})=-1$）ことから、測る前から値が決まっていたはずだと主張した。

Bell（1964）の元の不等式は、この完全な逆相関を仮定して導かれる。局所の模型で Bob の結果を $B(\bm{c})=-A(\bm{c})$ とおくと、3つの向き $\bm{a},\bm{b},\bm{c}$ について

$$\lvert E(\bm{a},\bm{b})-E(\bm{a},\bm{c})\rvert \le1+E(\bm{b},\bm{c})\tag{3.5.24}$$

が成り立つ。この章の言葉で示すと、決定的な戦略では $u,v=\pm1$ について $\lvert u+v\rvert =1+uv$ が成り立つことを使い、$\lvert A(\bm{a})B(\bm{b})-A(\bm{a})B(\bm{c})\rvert =\lvert B(\bm{b})+A(\bm{c})\rvert =1+A(\bm{c})B(\bm{b})$ となる。$\lambda$ で平均すると左辺は平均の絶対値以上なので式 (3.5.24) が出る（右辺の $E(\bm{c},\bm{b})$ は一重項では $E(\bm{b},\bm{c})$ に等しい）。

CHSH 不等式との違いは、完全な逆相関の仮定の有無である。実験では検出器の効率や状態の純度のため $E(\bm{a},\bm{a})=-1$ を厳密には実現できないので、式 (3.5.24) は実験の不等式としては使いにくい。CHSH 不等式は、この仮定を置かずに4つの相関だけで書かれている。授業の形と並べると、次のように対応する。

$$\begin{aligned}&\text{授業の形：}&&\lvert E(\bm{a},\bm{b})-E(\bm{a},\bm{c})\rvert \le1+E(\bm{b},\bm{c})\quad(\text{完全な逆相関を仮定、3つの向き})\\ &\text{この章の形：}&&\lvert E_{00}+E_{01}+E_{10}-E_{11}\rvert \le2\quad(\text{仮定なし、Alice 2つ・Bob 2つの向き})\\ &\text{量子の値：}&&E=-\bm{a}\cdot\bm{b}\ \text{（一重項）}、\ S\le2\sqrt2\ \text{（定理~3.5.3）}\end{aligned}$$

光子の偏光で実験する場合、偏光の向きの角度 $\alpha$ と Bloch 球の上の角度は2倍だけ違う（直交する偏光は Bloch 球の上で反対の点）。そのため $| \Phi^+ \rangle$ に対応する偏光のもつれた光子対の相関は $E=\cos2(\alpha-\beta)$ となり、CHSH の最適な角度は偏光板の角度で $0^\circ,45^\circ$（Alice）と $22.5^\circ,-22.5^\circ$（Bob）になる。Aspect らのカルシウムの原子のカスケードによる光子対の実験は、光の巻（光学と量子エレクトロニクス 第33章）で扱う。2022年のノーベル物理学賞は、Aspect・Clauser・Zeilinger の3人に、もつれた光子の実験と Bell 不等式の破れの検証に対して贈られた。