この章のまとめ

2026年10月15日7分で読めますAI生成教科書『虎の巻』第3部第5章 Bell の不等式

AI 生成・木下が未勉強

相対エントロピーから情報と物理を組み立てる　第3部第5章 §3.5.7　★★★ 箱を局所の集合と比べ、CHSH・Tsirelson・ $D_{\mathcal L}$ の3つの数で非局所性を測る

この章では、2人の観測者の入力と出力の条件付き分布（箱） $p(ab\,|\,xy)$ を、局所的な隠れた変数の模型が出せる箱の集合 $\mathcal L$ と比べた。 $\mathcal L$ は16個の決定的な戦略の凸包であり（命題 3.5.1）、その頂点で $S=\pm2$ となることから CHSH 不等式 $\lvert S\rvert \le2$ が出た（定理 3.5.2）。量子の箱は $| \Phi^+ \rangle$ を適切な向きで測ると $S=2\sqrt2$ に達し、量子力学の中では $2\sqrt2$ が上限である（定理 3.5.3）。2量子ビットの状態で達成できる最大の $S$ は相関行列の固有値で決まり（定理 3.5.4）、Werner 状態では $2\sqrt2V$ である。

相対エントロピーで測ると、等方的な箱と $\mathcal L$ の距離は $d_{\mathrm b}(\omega\,\|\,3/4)$ になる（定理 3.5.5）。証明には、勝ち負けへの粗視化でのデータ処理不等式と、結合凸性の2つだけを使った。量子の上限で $0.0321$ nat、PR 箱で $\ln(4/3)$ で、 $n$ 回の試行で局所の模型が量子の統計を真似できる確率は $\mathrm{e}^{-nD_{\mathcal L}}$ 程度である。局所の雑音を通すと $D_{\mathcal L}$ は増えない。

CHSH 不等式の破れは、装置を信用しなくてもエンタングルメントの存在を示し（命題 3.5.6）、盗聴者の情報の上限を決める（式 (3.5.21)）。一方で、エンタングルしていても CHSH 不等式を破らない状態があり、エンタングルメントと非局所性は別の量である。量子の箱は信号を送らないので、この相関で通信はできない。次の章（第3部第6章）では、同じ $| \Phi^+ \rangle$ に古典の通信を足すと、量子状態の転送（テレポーテーション）や1量子ビットで2ビットを送ること（超高密度符号）ができることを、資源の勘定として扱う。

総合問題　Werner 状態の Bell 実験と鍵 ★★★

オリジナルWerner 状態 $\hat\rho_V=V| \Phi^+ \rangle \langle \Phi^+ |+(1-V)\mathbf 1/4$ を $V=0.9$ で用意し、CHSH の実験を行う。

(1) 向きを最適に選んだときの $S$ を求め、CHSH 不等式を破ることを確かめよ。（使う道具：3.5.3 節の定理 3.5.4）
(2) $\hat\rho_V$ の固有値と von Neumann エントロピー $S(\hat\rho_{AB})$ 、条件付きエントロピー $S(A\,|\,B)$ を求めよ。 $S(A\,|\,B)<0$ となる $V$ の範囲の下端は $0.7476$ である。これと、エンタングルする下端 $1/3$ 、CHSH を破る下端 $1/\sqrt2$ の大小を比べよ。（使う道具：第3部第2章・第3部第4章・3.5.5 節）
(3) (1) の箱の $D_{\mathcal L}$ を求め、第2種の誤りの確率を $10^{-6}$ にするのに要る試行の回数を見積もれ。（使う道具：3.5.4 節・第1部第8章）
(4) 検出器が Alice と Bob の両方で確率 $\varepsilon =0.03$ で結果を取り違えるとき、 $S$ と $D_{\mathcal L}$ を求め、 $D_{\mathcal L}$ が (3) より小さいことを説明せよ。（使う道具：3.5.4 節・第1部第4章）
(5) 雑音の無い (1) の箱で鍵を作る。 $Q=(1-V)/2$ として、Eve の Holevo 量の上限と鍵の量の下限を求め、4つの境目（エンタングルする・CHSH を破る・ $S(A|B)<0$ ・鍵が取れる）を $V$ の小さい順に並べよ。（使う道具：3.5.5 節・第1部第6章）

解答

(1) 例題 3.5.3 から $S_{\max}=2\sqrt2V=2\sqrt2\times0.9=2.546>2$ で、CHSH 不等式を破る。

(2) $| \Phi^+ \rangle$ の方向に固有値 $V+(1-V)/4=(1+3V)/4=0.925$ 、それに直交する3次元に $(1-V)/4=0.025$ が3重。

$S(\hat\rho_{AB})=-0.925\ln0.925-3\times0.025\ln0.025=0.0721+0.2767=0.3488\ \text{nat}.$

$\hat\rho_B=\mathbf 1/2$ なので $S(B)=\ln2$ 、 $S(A\,|\,B)=S(\hat\rho_{AB})-S(B)=0.3488-0.6931=-0.3444$ nat で負である。境目を並べると $1/3<1/\sqrt2=0.7071<0.7476$ となる。CHSH を破る範囲 $V>0.7071$ の中に、 $S(A\,|\,B)\ge0$ の範囲 $0.7071<V\le0.7476$ がある。条件付きエントロピーが負であることは CHSH の破れの必要条件でも十分条件でもない。

(3) $\omega=\frac12+\frac{2.546}8=0.8182$ 。 $D_{\mathcal L}=d_{\mathrm b}(0.8182\,\|\,0.75)=0.01330$ nat。 $n\approx\ln(10^6)/0.01330=13.82/0.01330\approx1039$ 回。純粋な $| \Phi^+ \rangle$ の 431 回（例題 3.5.4）の約2.4倍で、 $V$ を $1$ から $0.9$ に下げただけで試行の回数は2倍以上になる。

(4) $(1-2\varepsilon )^2=0.94^2=0.8836$ なので $S=0.8836\times2.546=2.249$ 、 $\omega=0.7812$ 、 $D_{\mathcal L}=d_{\mathrm b}(0.7812\,\|\,0.75)=0.00267$ nat。取り違えは各自の手元の結果に確率行列を当てる操作で、局所の箱を局所の箱に写す。データ処理不等式から、式 (3.5.19) のとおり $D_{\mathcal L}$ は増えない。実際に $0.00267<0.01330$ である。

(5) $Q=0.05$ 、 $h_{\mathrm b}(0.05)=0.1985$ nat。 $(S/2)^2-1=1.62-1=0.62$ 、 $\sqrt{0.62}=0.7874$ 、 $(1+0.7874)/2=0.8937$ 、 $\chi_E\le h_{\mathrm b}(0.8937)=0.3387$ nat。 $r\ge0.6931-0.1985-0.3387=0.1559$ nat。鍵が取れる下端は 3.5.5 節の $V=0.857$ なので、4つの境目は

$\underbrace{\tfrac13}_{\text{エンタングル}}<\underbrace{0.7071}_{\text{CHSH}}<\underbrace{0.7476}_{S(A|B)<0}<\underbrace{0.857}_{\text{鍵}}$

の順で、 $V=0.9$ はすべての境目を超えている。デバイス独立な鍵は、CHSH をわずかに破るだけでは取れず、 $\chi_E$ を $\ln2-h_{\mathrm b}(Q)$ より小さくするだけの破れが要る。

木下の勉強ステータス

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連載AI生成教科書『虎の巻』授業とは別に、分野をまたいで気になったことを AI（Claude）が教材にし、木下が勉強しながら公開しています。上の段は AI が書いた本文、下の段は木下が勉強したあとに書いた文です。1787本の記事・木下智貴

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