この章のまとめ

(1) Schmidt 係数は $(3/4,1/4)$ なので $E=h_{\mathrm b}(1/4)=0.5623$ nat。定理 3.4.12 から蒸留の率は $0.5623/\ln2=0.811$ ebit／組。

(2) $\mathbf 1\otimes Z$ は $| 00 \rangle$ を変えず $| 11 \rangle$ の符号を変えるので、$| 00 \rangle \langle 11 |$ と $| 11 \rangle \langle 00 |$ の成分だけが $(1-r)-r=1-2r$ 倍になる。$c=\sqrt{3/4}$、$s=\sqrt{1/4}$ として$\{| 00 \rangle ,| 11 \rangle \}$ の $2\times2$ ブロックは

$$\begin{pmatrix}3/4&(1-2r)cs\\(1-2r)cs&1/4\end{pmatrix},\qquad r=0.1\ \text{で}\ (1-2r)cs=0.8\times\frac{\sqrt3}{4}=0.3464$$

で、他の成分は $0$。固有値は $\frac12\bigl(1\pm\sqrt{(1/2)^2+4\times0.3464^2}\bigr)=\frac12(1\pm\sqrt{0.25+0.48})$ で、$0.9272$ と $0.0728$（と $0$ が2つ）。$S(AB)=h_{\mathrm b}(0.0728)=0.2608$ nat。Bob の状態は対角成分だけで決まり $\hat\rho_B=\mathrm{diag}(3/4,1/4)$、$S(B)=h_{\mathrm b}(1/4)=0.5623$。よって $S(A\,|\,B)=0.2608-0.5623=-0.3015$ nat。$\hat\rho_A$ も $\mathrm{diag}(3/4,1/4)$ で、局所的な状態は $r$ によらない。

(3) 部分転置で $| 00 \rangle \langle 11 |$ は $| 01 \rangle \langle 10 |$ に移るので、$\hat\rho^{\mathsf T_B}$ は対角成分 $3/4$、$1/4$（$| 00 \rangle$、$| 11 \rangle$）と、$\{| 01 \rangle ,| 10 \rangle \}$ のブロック$\begin{pmatrix}0&0.3464\\0.3464&0\end{pmatrix}$ に分かれる。固有値は $3/4$、$1/4$、$\pm0.3464$。負の固有値があるのでもつれていて、$\mathrm{Neg}=0.3464$、$E_{\mathrm N}=\ln(1+0.6928)=0.5264$ nat。一般の $r$ では負の固有値は $-(1-2r)\sqrt3/4$ で、$r<\frac12$ ならいつももつれている。

(4) $\Delta(\hat\rho)=\frac34| 00 \rangle \langle 00 |+\frac14| 11 \rangle \langle 11 |$ は積状態の混合なので分離可能である。$E_{\mathrm R}$ の定義から $E_{\mathrm R}\le D(\hat\rho\,\|\,\Delta(\hat\rho))$ で、第3部第2章の位相緩和の式から $D(\hat\rho\,\|\,\Delta(\hat\rho))=S(\Delta(\hat\rho))-S(\hat\rho)=h_{\mathrm b}(1/4)-S(AB)$。$h_{\mathrm b}(1/4)=S(B)$ なので $E_{\mathrm R}\le S(B)-S(AB)=-S(A\,|\,B)$。一方、定理 3.4.7 から $E_{\mathrm R}\ge-S(A\,|\,B)$。よって $E_{\mathrm R}(\hat\rho(r))=S(B)-S(AB)$ で、$r=0.1$ では $0.3015$ nat（$0.435$ ebit）。この族では下界 (3.4.9) の等号が成り立ち、最小点は $\Delta(\hat\rho)$ である。

(5) $\mathcal N_{r_1}$ のあとに $\mathcal N_{r_2}$ を当てると、非対角成分は $(1-2r_1)(1-2r_2)=1-2r$（$r=r_1+r_2-2r_1r_2$）倍になるので、合成は $\mathcal N_r$ に等しい。$r'>r$（$r'\le\frac12$）なら $\mathcal N_{r'}=\mathcal N_{r_2}\circ\mathcal N_r$ となる $r_2=(r'-r)/(1-2r)\in[0,\frac12]$ があり、$\mathcal N_{r_2}$ は Bob だけの操作なので LOCC である。定理 3.4.5 から $E_{\mathrm R}(\hat\rho(r'))\le E_{\mathrm R}(\hat\rho(r))$。値は $r=0$ で $h_{\mathrm b}(1/4)=0.5623$、$r=\frac12$ で $0$ である。$1000$ 組からは、式 (3.4.19) の下限のハッシングで $1000\times0.3015/\ln2=435$ 組ほどの ebit を取り出せる。(4) の結果から $E_{\mathrm R}$ が下界に一致するので、$E_{\mathrm D}\ln2\le E_{\mathrm R}$ と合わせて、この族では $E_{\mathrm D}=E_{\mathrm R}/\ln2=0.435$ ebit がちょうど決まる。

(6) $I(A;B)=S(A)+S(B)-S(AB)=2\times0.5623-0.2608=0.8638$ nat。$E_{\mathrm R}=S(B)-S(AB)$ を引いた残りは $S(A)=h_{\mathrm b}(1/4)$ で、これは $\Delta(\hat\rho)$（2人の結果がいつも一致する古典的な相関）と $\hat\rho_A\otimes\hat\rho_B=\mathrm{diag}(9/16,3/16,3/16,1/16)$ の古典の相対エントロピー$\frac34\ln\frac{3/4}{9/16}+\frac14\ln\frac{1/4}{1/16}=h_{\mathrm b}(1/4)=0.5623$ に等しい。よって $I(A;B)=0.3015+0.5623$ と、もつれの分と古典的な相関の分に分かれる（例題 3.4.2 と同じ形）。$r=\frac12$ では非対角成分が消えて $\hat\rho=\Delta(\hat\rho)$ になり、$E_{\mathrm R}=0$、$I(A;B)=h_{\mathrm b}(1/4)$ で、古典的な相関だけが残る。$r$ を増やすと、相互情報量のうちもつれの分 $E_{\mathrm R}$ だけが減り、古典的な相関の分 $h_{\mathrm b}(1/4)$ は $r$ によらず一定である。