出てくるもの（3）：蒸留と濃縮（もつれを ebit で数える）

相対エントロピーから情報と物理を組み立てる　第3部 第4章 §3.4.5　★★★ 多数のコピーから LOCC で取り出せる ebit の率は、純粋状態ではちょうど $E/\ln2$ になる。典型系列と $E_{\mathrm R}$ の単調性の2つから出る

蒸留の率

もつれは量子テレポーテーション（第3部第6章）などで消費される資源で、標準の単位は Bell 状態 $| \Phi^+ \rangle$ 1組＝1 ebit である。そこで、ある状態 $\hat\rho$ が何 ebit 分の価値を持つかを、次の操作で測る。

LOCC でもつれは増えないので $E_{\mathrm D}\le E_{\mathrm C}$ である（蒸留してから作り直して元より多く得られるなら、もつれを増やせることになる）。純粋状態では2つが一致し、値はもつれのエントロピーになる。

C. H. Bennett、H. J. Bernstein、S. Popescu、B. Schumacher が示した¹1C. H. Bennett, H. J. Bernstein, S. Popescu and B. Schumacher (1996), Physical Review A 53, 2046–2052。下の脚注へ閉じる。純粋状態から ebit を取り出す操作を濃縮、ebit から純粋状態を作る操作を希釈と呼ぶ。

濃縮の手順

2量子ビットの $| \Psi \rangle =\sqrt{1-q}\,| 00 \rangle +\sqrt q\,| 11 \rangle$（$0<q<1/2$）で手順を示す。$n$ 組まとめると、$x\in\{0,1\}^n$ の2進列で

$$| \Psi \rangle ^{\otimes n}=\sum_{k=0}^n\sqrt{(1-q)^{n-k}q^k}\sum_{x:\,\lvert x\rvert =k}| x \rangle _A| x \rangle _B\tag{3.4.16}$$

と書ける（$\lvert x\rvert$ は $x$ の中の $1$ の個数）。係数は $k$ だけで決まる。Alice が自分の $n$ 個の量子ビットについて「$1$ がいくつあるか」を測る。この測定は$\lvert x\rvert =k$ の基底ベクトルが張る空間への射影 $\hat P_k$ の組で、Alice の手元だけで実行できる。結果 $k$ は確率 $\binom nk(1-q)^{n-k}q^k$ で出て、そのあとの状態は

$$\binom nk^{-1/2}\sum_{x:\,\lvert x\rvert =k}| x \rangle _A| x \rangle _B\tag{3.4.17}$$

になる。これは Schmidt 係数がすべて $\binom nk^{-1}$ に等しい最大にもつれた状態で、Schmidt 階数 $\binom nk$ を持つ。$\binom nk$ が $2$ のべきなら、局所ユニタリで$\log_2\binom nk$ 組の $| \Phi^+ \rangle$ に並べ直せる。$2$ のべきでないときの端数を処理する手順を足しても率は変わらないので、ここでは $\log_2\binom nk$ ebit を得たと数える。得られる平均は

$$\frac1n\sum_{k=0}^n\binom nk(1-q)^{n-k}q^k\log_2\binom nk\ \longrightarrow\ \frac{h_{\mathrm b}(q)}{\ln2}=\frac{E(\Psi)}{\ln2}\qquad(n\to\infty)\tag{3.4.18}$$

で、極限は典型系列の議論で出る。$k$ は $nq$ のまわりに幅 $\sqrt n$ 程度で集まり（大数の法則）、その付近で $\ln\binom nk=nh_{\mathrm b}(k/n)+\mathcal{O}(\ln n)$（第1部第2章）だからである。図 3.4.4 は $n=10$、$100$ での収束の様子である。

率 $E/\ln2$ より多くは取り出せないことは、$E_{\mathrm R}$ の単調性から出る。$m$ ebit に近い状態の $E_{\mathrm R}$ はほぼ $m\ln2$ であり、$\hat\rho^{\otimes n}$ の $E_{\mathrm R}$ は$| \Psi \rangle ^{\otimes n}$ が純粋状態なので $nE(\Psi)$ である。LOCC で増えないので $m\ln2\lesssim nE(\Psi)$ となる（近似の誤差が $n$ あたりで $0$ に行くことの確認には $E_{\mathrm R}$ の連続性の評価が要るが、ここでは省く）。逆向きの希釈は、Alice が手元で $| \Psi \rangle ^{\otimes n}$ の典型的な部分を用意し、Bob の分を $nE/\ln2$ 組ほどの ebit を使ったテレポーテーションで送れば実現できる（送る量子ビットの数を典型部分の次元まで減らす考え方は、B. Schumacher の量子データ圧縮と同じである）。

混合状態の蒸留

混合状態では $E_{\mathrm D}<E_{\mathrm C}$ になりうる。蒸留の率の上限として、$E_{\mathrm R}$ の単調性から $E_{\mathrm D}\le E_{\mathrm R}/\ln2$ が出る（純粋状態と同じ議論で、$E_{\mathrm R}$ の加法性の代わりに$E_{\mathrm R}(\hat\rho^{\otimes n})\le nE_{\mathrm R}(\hat\rho)$ を使う。$\hat\sigma^{*\otimes n}$ が分離可能だからである）。下限としては、I. Devetak と A. Winter がAlice から Bob への一方向の通信だけを使う手順（ハッシング）で率 $-S(A\,|\,B)/\ln2$ を達成できることを示した²2I. Devetak and A. Winter (2005), Proceedings of the Royal Society A 461, 207–235。下の脚注へ閉じる。まとめると

$$\max\{0,\,-S(A\,|\,B)\}\le E_{\mathrm D}\ln2\le E_{\mathrm R}\le E_{\mathrm F}.\tag{3.4.19}$$

定理 3.4.7 の下界 $E_{\mathrm R}\ge-S(A\,|\,B)$ は、この両端を比べた形にもなっている。Werner 状態でいうと、$p>0.748$ ではハッシングで ebit を取り出せる。2量子ビットのもつれた状態はすべて、Alice と Bob が双方向に通信する別の手順で蒸留できることが知られている³3M. Horodecki, P. Horodecki and R. Horodecki (1997), Physical Review Letters 78, 574–577。下の脚注へ閉じる。$1/3<p\le0.748$ の Werner 状態もそれで蒸留できるが、手順はここでは扱わない。

1　C. H. Bennett, H. J. Bernstein, S. Popescu and B. Schumacher (1996), Physical Review A 53, 2046–2052。

2　I. Devetak and A. Winter (2005), Proceedings of the Royal Society A 461, 207–235。

3　M. Horodecki, P. Horodecki and R. Horodecki (1997), Physical Review Letters 78, 574–577。