この章のまとめ

(1) $| \Phi^+ \rangle$ は $\sigma_x\otimes\sigma_x$、$\sigma_z\otimes\sigma_z$ の固有値 $+1$ の固有状態で、$\sigma_y\otimes\sigma_y=-(\sigma_x\otimes\sigma_x)(\sigma_z\otimes\sigma_z)$（第3列の関係 (9.3.6)）から $\sigma_y\otimes\sigma_y$ の固有値 $-1$ の固有状態でもある。片側だけの4つ（$\sigma_x\otimes\hat 1$ など）は、縮約が $\hat 1/2$ なので期待値 $0$。$\sigma_x\otimes\sigma_y$ と $\sigma_y\otimes\sigma_x$ も、$\langle \Phi^+ | \sigma_x\otimes\sigma_y | \Phi^+ \rangle =\frac12\bigl(\langle \uparrow\uparrow | \cdot | \downarrow\downarrow \rangle +\text{c.c.}\bigr)$ を計算すると $\sigma_x| \downarrow \rangle =| \uparrow \rangle$、$\sigma_y| \downarrow \rangle =-\mathrm{i}| \uparrow \rangle$ から $\frac12(-\mathrm{i}+\mathrm{i})=0$。期待値を正方形の形に並べると

$$\begin{array}{ccc}0&0&+1\\0&0&-1\\0&0&+1\end{array}$$

で、確定値を持つのは第3列の3つ（$+1,-1,+1$）だけである。

(2) 第3列に $v_{13}=+1$、$v_{23}=-1$、$v_{33}=+1$ を置くと、第3列の積は $-1$ で量子の予言どおり、$-C_3=+1$。残りの6個を $\pm1$ に選ぶと、各行の積の条件から $v_{11}v_{12}=+1$、$v_{21}v_{22}=-1$、$v_{31}v_{32}=+1$ を満たせば $R_1=R_2=R_3=+1$ になるが、そのとき第1・2列の積の積は $\prod_{i}v_{i1}v_{i2}=(+1)(-1)(+1)=-1$ なので、$C_1C_2=-1$ で一方は $-1$。行の条件を1つ破れば $R_i=-1$。どちらにしても6つの項のうち少なくとも1つは $-1$ で、$\chi\le4$ である（6つの項の積が常に $-1$ だという 9.3.3節の議論の具体例）。量子では各行・各列の積が演算子として $\pm\hat 1$ なので $\hat\chi=6\cdot\hat 1$ で、$\operatorname{Tr}(\hat\rho_V\hat\chi)=6$ がどの $V$ でも成り立つ。完全に混合した $V=0$ でも $6$ である。

(3) $| \Phi^+ \rangle$ では $\hat A_0,\hat A_1$ の向きが $\alpha_0=0$, $\alpha_1=\frac\pi2$、$\hat B_0,\hat B_1$ が $\beta_0=\frac\pi4$, $\beta_1=-\frac\pi4$ で、$E_{00}=E_{01}=E_{10}=\cos\frac\pi4=\frac{1}{\sqrt2}$、$E_{11}=\cos\frac{3\pi}{4}=-\frac{1}{\sqrt2}$。CHSH は $\frac{4}{\sqrt2}=2\sqrt2$。$\hat 1/4$ の部分では相関はすべて $0$ なので、$\hat\rho_V$ では $S=2\sqrt2\,V$。命題 9.3.9 から局所的な模型は $\lvert S\rvert \le2$ を満たすので、破れるのは $V>\frac{1}{\sqrt2}\approx0.707$ のときである。

(4) $\operatorname{Tr}_B| \Phi^+ \rangle \langle \Phi^+ |=\frac12\hat 1$、$\hat\rho_V$ でも $\operatorname{Tr}_B\hat\rho_V=\frac12\hat 1$（Bloch ベクトル $\bm{r}=0$）。$\hat 1/2=\frac12(| \uparrow \rangle \langle \uparrow |+| \downarrow \rangle \langle \downarrow |)$ と純粋状態の混合に書き、模型の分布を $\frac12(q_{\bm{e}_z}+q_{-\bm{e}_z})$ とおけば、$\lambda$ は球面上に一様に分布し、どの $\bm{n}$ でも $\Pr(\bm{n}\cdot\bm{\sigma}=+1)=\frac12$ で Born の規則 $\frac12(1+0)$ と一致する。A だけの測定は量子ビットの文脈しか含まないので、第9部第2章で見た2次元の自由さのとおり、非文脈的な模型で説明することができる。文脈依存性は2つの量子ビットの物理量を組み合わせたときに初めて現れる。

(5) $V=0.6$ では CHSH が $2\sqrt2\times0.6\approx1.697\le2$ で、局所的な模型で説明できる範囲に入る。一方 Peres–Mermin の $\chi$ は $6>4$ のままで、非文脈的な模型を否定する。Bell の検査（CHSH）は局所性という弱い仮定だけを否定するが、もつれの強い状態（$V>1/\sqrt2$）と空間的に離れた2つの系を必要とする。Peres–Mermin の検査は、どの状態でも（$V=0$ でも）非文脈性を否定するが、同じ実験室で同時に測れる物理量の値が文脈によらないという、物理的な根拠の弱い仮定を対象にしている。命題 9.3.9 のとおり局所性は非文脈性の特別な場合なので、CHSH が破れれば非文脈性も破れるが、逆は成り立たない。$V=0.6$ の状態は、CHSH の4つの文脈だけなら局所的な模型で説明できるが、正方形の9個の物理量まで含めると非文脈的な模型が無い、という中間の領域にある。9.3.4節の着色の議論は、この状態に依らない検査の背後にある射線の構造である。