この章のまとめ

(1) $c=\cos\theta=\tfrac12$、$s=\sin\theta=\tfrac{\sqrt3}{2}$ とする。$| \Psi_\theta \rangle =\tfrac{1}{\sqrt2}\big(| \uparrow \rangle | 0 \rangle +| \downarrow \rangle (c| 0 \rangle +s| 1 \rangle )\big)$。(4.2.9) で $\alpha=\beta=\tfrac1{\sqrt2}$ として

$$\hat\rho_{\mathrm A}=\frac12\begin{pmatrix}1&c\\c&1\end{pmatrix}=\frac12\big(\mathbf 1+c\,\sigma_x\big),\qquad \bm{r}=(c,0,0)=\big(\tfrac12,0,0\big),\qquad \operatorname{Tr}\hat\rho_{\mathrm A}^2=\frac{1+c^2}{2}=\frac58 .$$

(2) $\hat\rho_{\mathrm A}$ の固有ベクトルは $| \pm \rangle$、固有値は $\lambda_\pm=\tfrac{1\pm c}{2}$、すなわち $\tfrac34$ と $\tfrac14$。$| \uparrow \rangle =(| + \rangle +| - \rangle )/\sqrt2$、$| \downarrow \rangle =(| + \rangle -| - \rangle )/\sqrt2$ を代入すると、$| \phi \rangle =c| 0 \rangle +s| 1 \rangle$ として

$$| \Psi_\theta \rangle =\tfrac12| + \rangle \big(| 0 \rangle +| \phi \rangle \big)+\tfrac12| - \rangle \big(| 0 \rangle -| \phi \rangle \big).$$

$\lVert | 0 \rangle \pm| \phi \rangle \rVert ^2=2\pm2c$ なので、正規化した相手側の状態は

$$| r_+ \rangle =\frac{| 0 \rangle +| \phi \rangle }{\sqrt{2+2c}}=\cos\tfrac\theta2| 0 \rangle +\sin\tfrac\theta2| 1 \rangle ,\qquad | r_- \rangle =\frac{| 0 \rangle -| \phi \rangle }{\sqrt{2-2c}}=\sin\tfrac\theta2| 0 \rangle -\cos\tfrac\theta2| 1 \rangle$$

（$1+\cos\theta=2\cos^2\tfrac\theta2$、$\sin\theta=2\sin\tfrac\theta2\cos\tfrac\theta2$ を使った）で、Schmidt 分解は

$$| \Psi_\theta \rangle =\sqrt{\tfrac34}\,| + \rangle | r_+ \rangle +\sqrt{\tfrac14}\,| - \rangle | r_- \rangle .$$

$\langle r_+ | r_- \rangle =\cos\tfrac\theta2\sin\tfrac\theta2-\sin\tfrac\theta2\cos\tfrac\theta2=0$ で、確かに直交している。もつれのエントロピーは $-\tfrac34\ln\tfrac34-\tfrac14\ln\tfrac14=0.216+0.347=0.562\ \mathrm{nat}$。

(3) 指針が $1$ を示す確率は $\lVert (\mathbf 1\otimes| 1 \rangle \langle 1 |)| \Psi_\theta \rangle \rVert ^2=\tfrac12s^2=\tfrac38$ で、そのときの全体は $| \downarrow \rangle | 1 \rangle$、A の状態は $| \downarrow \rangle$。指針が $0$ を示す確率は $\tfrac12(1+c^2)=\tfrac58$ で、A の状態は $(| \uparrow \rangle +c| \downarrow \rangle )/\sqrt{1+c^2}=(2| \uparrow \rangle +| \downarrow \rangle )/\sqrt5$。平均は

$$\frac58\cdot\frac{1}{5}\begin{pmatrix}4&2\\2&1\end{pmatrix}+\frac38\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\tfrac12&\tfrac14\\[2pt]\tfrac14&\tfrac18+\tfrac38\end{pmatrix}=\frac12\begin{pmatrix}1&\tfrac12\\\tfrac12&1\end{pmatrix}=\hat\rho_{\mathrm A}$$

で (1) に戻る。R の測定の結果ごとに A の状態は純粋だが、結果を知らない A の側の人にとっての状態は $\hat\rho_{\mathrm A}$ のままである。

(4) $| \Psi' \rangle$ と (2) の Schmidt 分解を比べると、$\hat V| 0 \rangle =| r_+ \rangle$、$\hat V| 1 \rangle =| r_- \rangle$ であればよい。

$$\hat V=\begin{pmatrix}\cos\tfrac\theta2&\sin\tfrac\theta2\\\sin\tfrac\theta2&-\cos\tfrac\theta2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\tfrac{\sqrt3}{2}&\tfrac12\\\tfrac12&-\tfrac{\sqrt3}{2}\end{pmatrix}$$

（列が $| r_+ \rangle$、$| r_- \rangle$）。列が正規直交なのでユニタリである。2つの浄化は R の上の反射で移り合う。

(5) 浄化の側：$\hat U_{\mathrm A}(t)=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\Delta t\sigma_z/2}$ は $| \uparrow \rangle \mapsto\mathrm{e}^{\mathrm{i}\Delta t/2}| \uparrow \rangle$、$| \downarrow \rangle \mapsto\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\Delta t/2}| \downarrow \rangle$。定理 4.2.5 (b) により縮約は $\hat U_{\mathrm A}\hat\rho_{\mathrm A}\hat U_{\mathrm A}^\dagger$ で、非対角要素は $\rho_{\uparrow\downarrow}\mapsto\mathrm{e}^{\mathrm{i}\Delta t}\rho_{\uparrow\downarrow}=\tfrac c2\mathrm{e}^{\mathrm{i}\Delta t}$。$r_x=2\operatorname{Re}\rho_{\uparrow\downarrow}$、$r_y=-2\operatorname{Im}\rho_{\uparrow\downarrow}$ なので

$$\bm{r}(t)=c\big(\cos\Delta t,\ -\sin\Delta t,\ 0\big).$$

Bloch 方程式の側：$\hat H_{\mathrm A}=\tfrac\hbar2\bm{h}\cdot\bm{\sigma}$ と比べて $\bm{h}=(0,0,-\Delta)$。$\bm{h}\times\bm{r}=(\Delta r_y,\ -\Delta r_x,\ 0)$ なので $\dot r_x=\Delta r_y$、$\dot r_y=-\Delta r_x$。$\bm{r}(0)=(c,0,0)$ から $r_x=c\cos\Delta t$、$r_y=-c\sin\Delta t$ で一致する。長さ $\lvert \bm{r}\rvert =c$ は保たれ、A だけのユニタリは純粋度を変えない。R にユニタリ $\hat W$ を当てても、$\mathbf 1\otimes\hat W$ は部分トレース $\operatorname{Tr}_{\mathrm R}$ の中で $\hat W^\dagger\hat W=\mathbf 1$ として消えるので、$\hat\rho_{\mathrm A}(t)$ は変わらない（定理 4.2.5 (e) と同じ理由）。Heisenberg 描像で言えば、A の物理量 $\sigma_{x,\mathrm H}(t)\otimes\mathbf 1$ は R の演算子と交換し、R の発展は A の期待値に入らない。