Schmidt 分解

量子力学の様々な構成方法　第4部 第2章 §4.2.2　★★★ 2つの系の純粋状態は、両側の正規直交系の対角な和 $\sum_k\sqrt{\lambda_k}| a_k \rangle | b_k \rangle$ に必ず書ける。両側の縮約密度演算子は同じ非零固有値 $\lambda_k$ を持つ

定理と証明

正の係数 $\sqrt{\lambda_k}$ を Schmidt 係数、その個数 $r$ を Schmidt 階数と呼ぶ。名前は E. Schmidt が積分方程式の核 $K(s,t)$ を2組の直交関数系の対角な和に展開した仕事（Schmidt (1907), Math. Ann. 63, 433）に由来する。2つの系の状態の言葉で書き直したのは Schrödinger で、同じ論文で「もつれ」の概念を導入した（Schrödinger (1935), Proc. Cambridge Phil. Soc. 31, 555）。

行列で見ると特異値分解

基底 $| i \rangle _{\mathrm A}$、$| j \rangle _{\mathrm B}$ で $| \Psi \rangle =\sum_{i,j}C_{ij}| i \rangle | j \rangle$ と書くと、係数行列 $C$ は $d_{\mathrm A}\times d_{\mathrm B}$ の長方行列で、$\hat\rho_{\mathrm A}$ の行列は $CC^\dagger$、$\hat\rho_{\mathrm B}$ の行列は $C^{\mathsf T}\overline{C}$ になる（$\langle i | \hat\rho_{\mathrm A} | i' \rangle =\sum_jC_{ij}\overline{C_{i'j}}$）。定理 4.2.1 は、$C$ を $C=\sum_k\sqrt{\lambda_k}\,\bm{u}_k\bm{w}_k^{\mathsf T}$（$\bm{u}_k$、$\bm{w}_k$ はそれぞれ正規直交）と書く特異値分解と同じ内容である。Schmidt 係数は $C$ の特異値で、その2乗が $\hat\rho_{\mathrm A}$ の固有値である。$CC^\dagger$ と $C^{\mathsf T}\overline C=\overline{C^\dagger C}$ が同じ非零固有値を持つことは、行列の言葉では $CC^\dagger$ と $C^\dagger C$ の非零固有値が一致するという線型代数の事実に当たる。

2量子ビットでは $C$ は $2\times2$ で、$\lvert \det C\rvert =\sqrt{\lambda_1\lambda_2}$ である（行列式は特異値の積に位相を掛けたもの）。第1部第2章で示した「積状態 $\Leftrightarrow\det C=0$」は、Schmidt 階数が1のときに限って積状態になる、という一般の判定の2量子ビット版である。

Schmidt 分解から分かること

定理 4.2.1 から、もつれについて3つのことがすぐに分かる。第一に、全体が純粋なら、A と B の混合の度合いは同じである。純粋度 $\operatorname{Tr}\hat\rho_{\mathrm A}^2=\operatorname{Tr}\hat\rho_{\mathrm B}^2=\sum_k\lambda_k^2$ も、von Neumann エントロピー $S(\hat\rho_{\mathrm A})=S(\hat\rho_{\mathrm B})=-\sum_k\lambda_k\ln\lambda_k$ も一致する。この共通の値 $-\sum_k\lambda_k\ln\lambda_k$ を純粋状態のもつれのエントロピーと呼ぶ（もつれの定量化の一般論は 相対エントロピーから情報と物理を組み立てる 第3部第4章）。次元の違う系でも同じなので、たとえば1量子ビットと巨大な環境が全体として純粋なら、環境の縮約密度演算子の非零固有値は高々2個しかない。第二に、$| \Psi \rangle$ が積状態であることと、Schmidt 階数が1であることと、$\hat\rho_{\mathrm A}$ が純粋であることは同値である。第三に、Schmidt 階数は $\min(d_{\mathrm A},d_{\mathrm B})$ を超えない。