橋：密度行列の要請は基準の公理を含む

量子力学の様々な構成方法　第4部 第1章 §4.1.6　★★★ $\hat\rho=| \psi \rangle \langle \psi |$ と置くと (D1)〜(D5) は基準の公理に戻る。逆向き（どの $\hat\rho$ も純粋状態の部分）は第4部第2章で示す。統計力学・Liouville 方程式・描像の変換との対応を式で並べる

基準から密度行列へ

同値性の地図（第1部第1章）で、基準（状態ベクトル）から密度行列（第4部）へ向かう矢印には $\hat\rho=| \psi \rangle \langle \psi |$ と書いてある。純粋状態に限れば (D1)〜(D5) は基準の公理とそのまま一致し、これがこの矢印の中身である。並べると次の表になる。

各行の一致は1行の計算で確かめられる。確率の行は $\operatorname{Tr}(| \psi \rangle \langle \psi |\hat P_a)=\langle \psi | \hat P_a | \psi \rangle$。時間発展の行は $\mathrm{i}\hbar\,\partial_t(| \psi \rangle \langle \psi |)=\hat H| \psi \rangle \langle \psi |-| \psi \rangle \langle \psi |\hat H$（ブラの側は Schrödinger 方程式のエルミート共役 $-\mathrm{i}\hbar\,\partial_t\langle \psi |=\langle \psi |\hat H$ を使う）。測定後の行は $\hat P_a| \psi \rangle \langle \psi |\hat P_a/\langle \psi | \hat P_a | \psi \rangle$ が規格化した $\hat P_a| \psi \rangle$ の射影であることから出る。合成系の行で、純粋な $\hat\rho_{\mathrm{AB}}$ の部分が純粋なのは積状態のときに限り、それ以外では第4.1.5節のとおり混合状態になる。この行だけは、基準の公理が答えを持っていなかった問い（部分系の状態は何か）に密度演算子が答えている。

逆向きの矢印、つまり「密度演算子の公理で書けることは、状態ベクトルの公理でも書ける」には2つの道がある。1つは第4.1.2節で見た固有値分解（どの $\hat\rho$ も純粋状態のアンサンブル）で、もう1つは第4.1.5節の浄化（どの $\hat\rho$ も大きな系の純粋状態の部分）である。後者を使うと、混合状態の時間発展や測定を、大きな系の状態ベクトルの時間発展と測定に置き換えて計算でき、結果は (D1)〜(D5) と一致する。この証明を第4部第2章（第4部第2章）で行う。基準と第4部の橋は、この章の表（基準 → 密度行列）と次の章の証明（密度行列 → 基準）の2つでできている。

描像の変換：Heisenberg 描像での期待値

(4.1.7) の交換子の順序が Heisenberg 方程式と逆であることを第4.1.3節で注意した。期待値で比べると、トレースの巡回性から

$$\operatorname{Tr}\big(\hat\rho(t)\hat A\big)=\operatorname{Tr}\big(\hat U\hat\rho(0)\hat U^\dagger\hat A\big)=\operatorname{Tr}\big(\hat\rho(0)\,\hat U^\dagger\hat A\hat U\big)=\operatorname{Tr}\big(\hat\rho(0)\hat A_{\mathrm H}(t)\big)\tag{4.1.16}$$

となり、状態を動かすか物理量を動かすかは期待値を変えない。$\hat\rho$ を動かす向きと $\hat A_{\mathrm H}$ を動かす向きが逆であることが、交換子の順序の違いに当たる。純粋状態の場合のこの等式が、第2部の最終章（第2部第6章）の橋「状態ベクトル ↔ 行列力学」である。(4.1.16) はそれを混合状態にまで広げている。

古典の統計力学との対応

学部の統計力学では、古典系の状態を相空間の確率密度 $\rho(q,p,t)$ で書き、期待値を $\langle A \rangle =\int A\rho\,\mathrm{d} q\,\mathrm{d} p$、時間発展を Liouville 方程式 $\frac{\partial \rho}{\partial t}=\{H,\rho\}$ で書く（解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第3部第1章）。量子統計力学では、カノニカル分布を $\hat\rho=\mathrm{e}^{-\beta\hat H}/Z$、$Z=\operatorname{Tr}\mathrm{e}^{-\beta\hat H}$ と書く。この章の言葉と並べると次のようになる。

積分がトレースに、Poisson 括弧が交換子を $\mathrm{i}\hbar$ で割ったものに置き換わる。この置き換えは正準量子化の処方（第2部第2章）と同じ形である。最後の行だけは対応が崩れる。古典の1点は分散0の分布だが、量子の純粋状態は一般にどの物理量についても分散0にはならない。例題 4.1.3 で、純粋状態 $| + \rangle$ が $\sigma_z$ については半々の結果を出したのがその例である。相空間の関数と演算子の対応を $\hbar$ のべきまで正確にしたものが、第5部の Wigner 変換（第5部第2章）で、地図では密度行列から位相空間への矢印になっている。熱平衡 $\mathrm{e}^{-\beta\hat H}/Z$ は第4部第4章（第4部第4章）で扱い、虚時間の経路積分（第3部第6章）とはそこで合流する。

地図の中の第4部

この章の要請 (D1)〜(D5) は、地図の上では基準からの矢印1本でつながっているが、第4部から先へはさらに矢印が出ている。図 4.1.3 は、そのうち第4部が受け持つものを抜き出した。(D2) の確率の形 $\operatorname{Tr}(\hat\rho\hat P)$ は、この章ではアンサンブルの平均から導いたが、第9部（第9部第2章）では射影の上の確率という仮定だけから Gleason の定理で導き直す。(D1) の「状態とは $\hat A\mapsto\operatorname{Tr}(\hat\rho\hat A)$ という期待値の割り当てである」という読み方を突き詰めたものが、第8部の代数的量子論（第8部第1章）である。

図 4.1.3　同値性の地図（第1部第1章）のうち、密度行列（第4部）に出入りする橋。基準から密度行列への矢印の中身がこの章の表で、逆向きの証明は第4部第2章、経路積分との合流は第4部第4章（虚時間）と第4部第6章（影響汎関数）で行う。