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この章のまとめ

2026年10月17日9分で読めますAI生成教科書『虎の巻』第9部 第2章 Gleason の定理：射影の上の確率は密度行列で決まる

AI 生成・木下が未勉強

量子力学の様々な構成方法　第9部 第2章 §9.2.7　★★★ 命題の束の上の確率から密度行列と Born の規則が出ること、2次元での破れと効果による回復をまとめ、Kochen–Specker の定理へ渡す

第9部第1章で置いた「状態＝命題の束の上の加法的な確率」という要請から出発し、確率の形がどこまで決まるかを調べた。状態は1次元の射影の上の値 f(x)=μ(∣x⟩⟨x∣)f(x)=\mu(| x \rangle \langle x |) で決まり、ff はどの正規直交基底でも和が 11 になる非負の関数（frame function）である。この条件には、同じ命題の確率がどの基底（測定）に入れても同じという非文脈性が含まれている。Gleason の定理は、dim⁡H≥3\dim\mathcal{H}\ge3 ならそのような ff がすべて ⟨x∣ρ^∣x⟩\langle x | \hat\rho | x \rangle の形であることを言う。ここから、Born の規則 ∣⟨a∣ψ⟩∣2\lvert \langle a | \psi \rangle \rvert ^2 が公理でなく帰結になり、分散のない状態が無いこと（隠れた変数の非文脈的な理論の不可能性）と、d2−1d^2-1 個の確率で状態がすべて決まること（トモグラフィー）が出る。証明の中心は2段に分かれる。連続な frame function については、nn を固定して残りを回す平均から f+2Cf=Wf+2\mathcal Cf=W が出て、球面調和関数の成分に係数 1+2Pℓ(0)1+2P_\ell(0) が掛かり、ℓ=0,2\ell=0,2 以外の成分が消える。こうして ff は2次形式になる。非負性から連続性を出す部分は、大円の上の関係と有界性を無数の大円の間でつなぐ Gleason の議論で、複素の場合は直交する3本の実係数の結合へ制限して実3次元に帰着させる。2次元では基底が互いに交わらない2本組に分かれるので、f(n)+f(−n)=1f(\bm{n})+f(-\bm{n})=1 を満たす関数なら何でも射影の上の状態になり、3乗の割り当てや分散のない割り当ても許される。確率を効果（POVM の要素）に割り当てると、別々の基底の射影を足した効果を通して値の間に関係が付き、Busch の定理で2次元でも密度行列が出る。橋の節では、Gleason の定理が第9部から第4部への橋で、第1部の Born の規則と第8部の状態の線型性を導くことを並べ、共通例題②の Rabi 振動の状態を3つの命題の確率から組み直した。次の 第9部第3章 では、Gleason の定理の連続性の議論を有限個の基底に置き換え、分散のない状態の不可能性を組み合わせだけで示す（Kochen–Specker の定理）。

この章の道具

  • frame function：∑if(ei)=W\sum_if(e_i)=W（どの正規直交基底でも）。状態 μ\mu ↔ 重み 11 の非負の frame function。
  • Gleason の定理：dim⁡H≥3\dim\mathcal{H}\ge3 なら f(x)=⟨x∣ρ^∣x⟩f(x)=\langle x | \hat\rho | x \rangle、μ(P^)=Tr⁡(ρ^P^)\mu(\hat P)=\operatorname{Tr}(\hat\rho\hat P)。
  • 証明の芯：f(n)+2(Cf)(n)=Wf(n)+2(\mathcal Cf)(n)=W、C\mathcal C は Yℓ\mathcal Y_\ell で Pℓ(0)P_\ell(0) 倍、1+2Pℓ(0)=01+2P_\ell(0)=0 は ℓ=2\ell=2 だけ。
  • トモグラフィー：ρij=[f(uij)−fˉ]−i[f(vij)−fˉ]\rho_{ij}=[f(u_{ij})-\bar f]-\mathrm{i}[f(v_{ij})-\bar f]、fˉ=12(f(ei)+f(ej))\bar f=\frac12(f(e_i)+f(e_j))。
  • 2次元：f(n)+f(−n)=1f(\bm{n})+f(-\bm{n})=1 だけ。効果まで広げれば Busch の定理で ν(E^)=Tr⁡(ρ^E^)\nu(\hat E)=\operatorname{Tr}(\hat\rho\hat E)。

総合問題　3準位系の確率の割り当てを、組み直し・制限・検査でひととおり調べる ★★★

オリジナル3準位系（基底 e1,e2,e3e_1,e_2,e_3）で、ある装置が非文脈的な確率の割り当てを与えている。ρ^=14(210110001)\hat\rho=\frac14\begin{pmatrix}2&1&0\\1&1&0\\0&0&1\end{pmatrix} がその状態とわかっているとして、次を調べる。

  1. (1) f(e1),f(e2),f(e3)f(e_1),f(e_2),f(e_3) と、u=(e1+e2)/2u=(e_1+e_2)/\sqrt2, v=(e1+ie2)/2v=(e_1+\mathrm{i} e_2)/\sqrt2 での値を求め、トモグラフィーの公式で ρ12\rho_{12} を組み直せ。（使う道具：9.2.2節）
  2. (2) e3e_3 を極とする実の大円 x(φ)=(cos⁡φ,sin⁡φ,0)x(\varphi)=(\cos\varphi,\sin\varphi,0) の上で f(φ)f(\varphi) を求め、f(φ)+f(φ+π2)f(\varphi)+f(\varphi+\frac\pi2) が一定であることと、大円の上の最大値・最小値を求めよ。（使う道具：9.2.4節の関係 (a)、第9部第1章の直交補）
  3. (3) 実の球面の上で、ff に g(x)=c(x34−67x32+335)g(x)=c\bigl(x_3^4-\frac67x_3^2+\frac{3}{35}\bigr) を足した f+gf+g が frame function にならないことを、2つの基底の和を比べて示せ（c≠0c\neq0）。gg は球面調和関数のどの ℓ\ell に属するか。（使う道具：9.2.3節）
  4. (4) この系に、分散のない状態（すべての命題に 00 か 11 を割り当てる状態）を考えることができるかを、Gleason の定理を使って答えよ。（使う道具：9.2.2節の系、第9部第1章の状態の定義）
  5. (5) 部分空間 {e1,e2}\{e_1,e_2\} に「はい」と答えた後の状態（Lüders の規則）を量子ビットの状態として Bloch ベクトルで書き、純粋度を求めよ。さらに効果 E^=12(P^z++P^x+)\hat E=\frac12(\hat P_{z+}+\hat P_{x+}) の確率を、2通りの分け方で計算して一致することを確かめよ。（使う道具：9.2.5節、第1部第2章の Q4、第4部第1章の純粋度）
解答

(1) 対角成分から f(e1)=12f(e_1)=\frac12, f(e2)=f(e3)=14f(e_2)=f(e_3)=\frac14。f(u)=12(ρ11+ρ22)+Re⁡ρ12=38+14=58f(u)=\frac12(\rho_{11}+\rho_{22})+\operatorname{Re}\rho_{12}=\frac38+\frac14=\frac58、f(v)=38−Im⁡ρ12=38f(v)=\frac38-\operatorname{Im}\rho_{12}=\frac38。公式 (9.2.5) で ρ12=(58−38)−i(38−38)=14\rho_{12}=\bigl(\frac58-\frac38\bigr)-\mathrm{i}\bigl(\frac38-\frac38\bigr)=\frac14 となり、ρ^\hat\rho の (1,2)(1,2) 成分に戻る。

(2) f(φ)=14(2cos⁡2φ+2sin⁡φcos⁡φ+sin⁡2φ)=14(32+12cos⁡2φ+sin⁡2φ)f(\varphi)=\frac14\bigl(2\cos^2\varphi+2\sin\varphi\cos\varphi+\sin^2\varphi\bigr)=\frac14\bigl(\frac32+\frac12\cos2\varphi+\sin2\varphi\bigr)。φ→φ+π2\varphi\to\varphi+\frac\pi2 で cos⁡2φ\cos2\varphi と sin⁡2φ\sin2\varphi の符号が反転するので f(φ)+f(φ+π2)=14⋅3=34=1−f(e3)f(\varphi)+f(\varphi+\frac\pi2)=\frac14\cdot3=\frac34=1-f(e_3)。関係 (a) のとおり、極の値だけで決まる。12cos⁡2φ+sin⁡2φ\frac12\cos2\varphi+\sin2\varphi の振幅は 14+1=52\sqrt{\frac14+1}=\frac{\sqrt5}{2} なので、最大値 3+58≈0.654\frac{3+\sqrt5}{8}\approx0.654、最小値 3−58≈0.096\frac{3-\sqrt5}{8}\approx0.096。これは左上の 2×22\times2 のブロック 14(2111)\frac14\bigl(\begin{smallmatrix}2&1\\1&1\end{smallmatrix}\bigr) の固有値に等しい。

(3) P4(z)=18(35z4−30z2+3)P_4(z)=\frac18(35z^4-30z^2+3) なので g=8c35P4(x3)g=\frac{8c}{35}P_4(x_3) で、gg は ℓ=4\ell=4 の帯球関数に属する。ff は frame function なので、f+gf+g が frame function なら gg も（重み 00 の差の）frame function でなければならない。標準基底では g(e1)=g(e2)=3c35g(e_1)=g(e_2)=\frac{3c}{35}, g(e3)=c(1−67+335)=8c35g(e_3)=c\bigl(1-\frac67+\frac{3}{35}\bigr)=\frac{8c}{35} で和は 2c5\frac{2c}{5}。zz 成分がすべて 1/31/\sqrt3 の基底では各値が c(19−27+335)=−4c45c\bigl(\frac19-\frac27+\frac{3}{35}\bigr)=-\frac{4c}{45} で和は −4c15-\frac{4c}{15}。c≠0c\neq0 なら2つの和が違うので、f+gf+g は frame function でない。9.2.3節の言葉では、ℓ=4\ell=4 の係数 1+2P4(0)=74≠01+2P_4(0)=\frac74\neq0 がこの成分を許さない。

(4) 考えられない。dim⁡H=3\dim\mathcal{H}=3 なので Gleason の定理から、どの状態も f(x)=⟨x∣ρ^′∣x⟩f(x)=\langle x | \hat\rho' | x \rangle の形で xx について連続である。単位球面は連結なので、00 と 11 しかとらない連続関数は定数で、基底の和が 00 か 33 になり 11 にならない（系 9.2.3）。この装置の割り当てを分散のない状態の混合として説明する、非文脈的な隠れた変数は無い。

(5) Lüders の規則で ρ^′=P^12ρ^P^12/Tr⁡(ρ^P^12)\hat\rho'=\hat P_{12}\hat\rho\hat P_{12}/\operatorname{Tr}(\hat\rho\hat P_{12})、Tr⁡(ρ^P^12)=34\operatorname{Tr}(\hat\rho\hat P_{12})=\frac34 なので、{e1,e2}\{e_1,e_2\}（e1=∣e⟩e_1=| e \rangle, e2=∣g⟩e_2=| g \rangle と読む）の上で ρ^′=13(2111)\hat\rho'=\frac13\bigl(\begin{smallmatrix}2&1\\1&1\end{smallmatrix}\bigr)。ρ^′=12(1^+r⋅σ)\hat\rho'=\frac12(\hat 1+\bm{r}\cdot\bm{\sigma}) と比べて 1+rz2=23\frac{1+r_z}{2}=\frac23, rx−iry2=13\frac{r_x-\mathrm{i} r_y}{2}=\frac13 から r=(23,0,13)\bm{r}=(\frac23,0,\frac13)。純粋度は Tr⁡ρ^′2=12(1+∣r∣2)=12(1+59)=79\operatorname{Tr}\hat\rho'^2=\frac12(1+\lvert \bm{r}\rvert ^2)=\frac12\bigl(1+\frac59\bigr)=\frac79 で、混合状態である。効果 E^\hat E の確率は、1つ目の分け方で 12⋅1+rz2+12⋅1+rx2=13+512=34\frac12\cdot\frac{1+r_z}{2}+\frac12\cdot\frac{1+r_x}{2}=\frac13+\frac{5}{12}=\frac34。2つ目の分け方（固有分解、m=(1,0,1)/2\bm{m}=(1,0,1)/\sqrt2）で λ+1+r⋅m2+λ−1−r⋅m2=12+122⋅12(23+13)=34\lambda_+\frac{1+\bm{r}\cdot\bm{m}}{2}+\lambda_-\frac{1-\bm{r}\cdot\bm{m}}{2}=\frac12+\frac{1}{2\sqrt2}\cdot\frac{1}{\sqrt2}\bigl(\frac23+\frac13\bigr)=\frac34。密度行列から作った割り当てなので2通りが一致し、例題 9.2.5 の3乗の割り当てとの違いがここに出ている。

木下の勉強ステータス

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連載AI生成教科書『虎の巻』授業とは別に、分野をまたいで気になったことを AI（Claude）が教材にし、木下が勉強しながら公開しています。上の段は AI が書いた本文、下の段は木下が勉強したあとに書いた文です。1787本の記事・木下 智貴
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