出てくるもの2：跳び移りの移動度と有機 FET

ハミルトニアンの選び方で固体を考える　第4部 第8章 §4.8.4　★★★ 跳び移りは乱歩なので、拡散係数 $D=k_{\mathrm{ET}}a^2$ を Einstein の関係で移動度に直す。移動度は温度とともに増える。その移動度で有機 FET の電流が決まる

乱歩と Einstein の関係

1回の跳び移りが隣の分子どうしの間で独立に起きるなら、キャリアの運動は格子の上の乱歩である。立方格子（$z=6$ 個の隣、次元 $d=3$）で、それぞれの隣へ速さ $k_{\mathrm{ET}}$ で跳ぶとすると、時間 $t$ の間の跳ぶ回数の平均は $6k_{\mathrm{ET}}t$、1回あたりの変位の2乗は $a^2$ で、向きはでたらめなので $\langle r^2 \rangle =6k_{\mathrm{ET}}a^2t$ となる。これを $\langle r^2 \rangle =2dDt$ と比べると、拡散係数は

$$D=\frac{z}{2d}k_{\mathrm{ET}}a^2=k_{\mathrm{ET}}a^2\qquad(\text{立方格子。1次元の鎖でも }z=2,\ d=1\text{ で同じ形})\tag{4.8.13}$$

である。弱い電場 $E$ をかけると、下流への跳び移りの $\Delta G$ が $-eEa$、上流が $+eEa$ になり、その差から平均の速さが出る。その計算は、拡散と移動を結ぶ Einstein の関係 $\mu_{\mathrm e}=eD/( k_{\mathrm B} T)$（解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第3部第9章）と一致する（例題 4.8.4）。(4.8.11) の $\Delta G=0$ の値を入れると、跳び移りの移動度は

$$\mu_{\mathrm e}=\frac{ea^2}{ k_{\mathrm B} T}\,\frac{2\pi}{\hbar}\frac{t_{\mathrm h}^2}{\sqrt{4\pi\lambda k_{\mathrm B} T}}\,\mathrm{e}^{-\lambda/4 k_{\mathrm B} T}\ \propto\ T^{-3/2}\mathrm{e}^{-\lambda/4 k_{\mathrm B} T}\tag{4.8.14}$$

となる。

温度で増える移動度

(4.8.14) の温度依存は、バンドの移動度とは逆である。バンドでは温度を上げるとフォノンの散乱が増え、移動度は下がる（第4部第2章）。跳び移りでは、温度を上げると交点を越える熱の揺らぎが増え、移動度は上がる。$\ln\mu_{\mathrm e}=-\frac32\ln T-\lambda/(4 k_{\mathrm B} T)+\text{定数}$ を $T$ で微分して $0$ と置くと、最大は

$$T^*=\frac{\lambda}{6 k_{\mathrm B}}\tag{4.8.15}$$

にある。$T<T^*$ では活性化型（冷やすと下がる）、$T>T^*$ では前の因子 $T^{-3/2}$ のために緩やかに下がる。したがって「移動度が温度とともに下がること」は、それだけではバンド伝導の証拠にならない。$T^*$ より高温側の跳び移りでも同じ向きになるからである。

有機 FET

有機半導体の移動度は、薄膜にゲートを付けた電界効果トランジスタ（有機 FET）で測るのが普通である。基板（ゲート電極）の上に厚さ $d_{\mathrm i}$ の絶縁膜を置き、その上に有機半導体の膜とソース・ドレインの電極をのせる。ゲートに電圧 $V_{\mathrm G}$ をかけると、絶縁膜をコンデンサとして、半導体の絶縁膜側の表面に単位面積あたり $C_{\mathrm i}(V_{\mathrm G}-V_{\mathrm{th}})$ の電荷がたまる（$C_{\mathrm i}=\varepsilon_0\varepsilon_{\mathrm r}/d_{\mathrm i}$、$V_{\mathrm{th}}$ はしきい値電圧で、罠に捕まる分を差し引くもの）。有機半導体はもともとキャリアをほとんど持たないので、電流を運ぶのはこの誘起された電荷だけである。

長さ $L$・幅 $w$ のチャネルに沿った位置 $y$ での電位を $V(y)$ とすると、そこでの電荷は $C_{\mathrm i}(V_{\mathrm G}-V_{\mathrm{th}}-V(y))$、電流は電荷×移動度×電場で$I_{\mathrm D}=w\mu_{\mathrm e}C_{\mathrm i}(V_{\mathrm G}-V_{\mathrm{th}}-V)\,\mathrm{d} V/\mathrm{d} y$ である。$y$ について $0$ から $L$ まで積分すると（電位は $0$ から $V_{\mathrm D}$ まで）

$$I_{\mathrm D}=\frac{w}{L}\mu_{\mathrm e}C_{\mathrm i}\Bigl[(V_{\mathrm G}-V_{\mathrm{th}})V_{\mathrm D}-\frac{V_{\mathrm D}^2}{2}\Bigr],\qquad I_{\mathrm D,\mathrm{sat}}=\frac{w}{2L}\mu_{\mathrm e}C_{\mathrm i}(V_{\mathrm G}-V_{\mathrm{th}})^2\tag{4.8.16}$$

を得る。第2式は $V_{\mathrm D}=V_{\mathrm G}-V_{\mathrm{th}}$ でドレイン端の電荷が $0$ になったとき（ピンチオフ）の飽和電流である。この形はシリコンの MOSFET と同じで、その導出とバンドの曲がりは 第4部第9章 で扱う（第4部第9章の式がこの式と同じ形である）。違いは、有機 FET の $\mu_{\mathrm e}$ が (4.8.14) の跳び移りの移動度で、電荷の量や温度に依存しうることである。