出てくるもの2：MOSFET の電流と飽和

ハミルトニアンの選び方で固体を考える　第4部 第9章 §4.9.3　★★★ 反転層の両端にソースとドレインを付け、チャネルに沿った電位が縦の電位よりゆっくり変わるとして、各点の電子の電荷を式 (4.9.10) で決める。電流はドレインの電圧の2次式で増えたのち飽和し、しきい値より下では指数関数で減る

チャネルに沿った電子の電位

p 型の Si の表面に、長さ $L$・幅 $w$ のゲートを置き、その両端の外側に n 型の領域を作る。電子を供給する側をソース、受け取る側をドレインと呼び、ソースを電位の基準（$0$）、基板もソースにつなぐ。ゲートの電圧が $V_{\mathrm{th}}$ を越えると、ゲートの下に反転層の電子ができ、ソースとドレインが電子の通り道（チャネル）でつながる。ドレインに正の電圧 $V_{\mathrm D}$ をかけると、電子はソースからドレインへ流れ、電流 $I_{\mathrm D}$ はドレインからソースの向きに流れる。

チャネルに沿った座標を $y$（$0\le y\le L$）とする。電流が流れているので、全体は平衡にない。しかし、チャネルの各点の近くで電子の分布は局所的に平衡に近い、と考える。各点の電子の化学ポテンシャル（擬 Fermi 準位）がソースの値から $-eV(y)$ だけずれているとし、$V(0)=0$、$V(L)=V_{\mathrm D}$ とする。するとその点では、式 (4.9.3) の電子の数が $n_0\mathrm{e}^{e(\phi-V)/( k_{\mathrm B} T)}$ になり、反転の条件は $\phi_{\mathrm s}=2\phi_{\mathrm B}+V(y)$ に変わる。電子を集めるのに、$V(y)$ だけ余計にバンドを曲げなければならないからである。

さらに、ゲートの長さ $L$ が酸化膜の厚さや空乏層の厚さよりずっと長いとし、各点の縦の電位分布は、その点の $V(y)$ を使った前節の1次元の解で書けると考える。これを緩やかなチャネルの近似と呼ぶ。この近似と、空乏層の電荷の変化を無視する（$Q_{\mathrm{dep}}$ を $y$ によらず一定とする）近似を合わせると、式 (4.9.10) で $V_{\mathrm G}$ を $V_{\mathrm G}-V(y)$ に置き換えて

$$Q_{\mathrm n}(y)=-C_{\mathrm{ox}}\bigl(V_{\mathrm G}-V_{\mathrm{th}}-V(y)\bigr)\tag{4.9.11}$$

を得る。

電流と飽和

電子の流れは擬 Fermi 準位の傾きで決まり、電流は（第4部第2章の移動度 $\mu_{\mathrm e}$ を使って）

$$I_{\mathrm D}=-w\,\mu_{\mathrm e}\,Q_{\mathrm n}(y)\,\frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} y}$$

である。擬 Fermi 準位の傾きで書くと、電場によるドリフトと濃度の勾配による拡散の両方が1つの式に入る（Einstein の関係。第4部第2章）。$I_{\mathrm D}$ は $y$ によらない（電流の保存）ので、両辺を $y$ について $0$ から $L$ まで積分すると、左辺は $I_{\mathrm D}L$、右辺は $V$ について $0$ から $V_{\mathrm D}$ までの積分になり、

$$I_{\mathrm D}=\mu_{\mathrm e}C_{\mathrm{ox}}\frac{w}{L}\Bigl[\bigl(V_{\mathrm G}-V_{\mathrm{th}}\bigr)V_{\mathrm D}-\frac{V_{\mathrm D}^2}{2}\Bigr]\tag{4.9.12}$$

を得る。$V_{\mathrm D}$ が小さいときは $I_{\mathrm D}\simeq\mu_{\mathrm e}C_{\mathrm{ox}}(w/L)(V_{\mathrm G}-V_{\mathrm{th}})V_{\mathrm D}$ で、チャネルは抵抗値をゲートの電圧で変えられる抵抗として振る舞う。

$V_{\mathrm D}$ を上げると、ドレインの端の電子の電荷 $\lvert Q_{\mathrm n}(L)\rvert =C_{\mathrm{ox}}(V_{\mathrm G}-V_{\mathrm{th}}-V_{\mathrm D})$ が減り、$V_{\mathrm D}=V_{\mathrm{D,sat}}\coloneqq V_{\mathrm G}-V_{\mathrm{th}}$ でドレインの端の電子が消える（ピンチオフ）。式 (4.9.12) はここで最大になり、そのときの電流は

$$I_{\mathrm{D,sat}}=\frac{\mu_{\mathrm e}C_{\mathrm{ox}}}{2}\frac{w}{L}\bigl(V_{\mathrm G}-V_{\mathrm{th}}\bigr)^2\tag{4.9.13}$$

である。$V_{\mathrm D}>V_{\mathrm{D,sat}}$ では、ピンチオフの点とドレインの間に空乏層ができ、余分な電圧はその短い空乏層にかかる。電子はピンチオフの点まではチャネルを流れ、その先は空乏層の強い電場で掃き出されてドレインに入る。ピンチオフの点からソースまでのチャネルには $V_{\mathrm{D,sat}}$ だけがかかるので、電流は $V_{\mathrm D}$ を上げても $I_{\mathrm{D,sat}}$ のまま変わらない。これが飽和である。式 (4.9.12) の放物線を $V_{\mathrm D}>V_{\mathrm{D,sat}}$ まで延ばすと電流が減るが、それはピンチオフの先で $Q_{\mathrm n}$ が負の電荷でなく正になるという、式 (4.9.11) の使える範囲の外の答えである。

この式は、第4部第8章の有機 FET の電流の式で $C_{\mathrm i}$ を $C_{\mathrm{ox}}$ に置き換えたものと同じ形で、そこでは絶縁膜の表面に電荷がたまるとだけ仮定した部分を、ここではバンドの曲がりから決めた。

空乏層の電荷が $y$ によって変わることを入れると、式 (4.9.11) の代わりに$Q_{\mathrm n}(y)=-C_{\mathrm{ox}}\bigl[V_{\mathrm G}-V_{\mathrm{FB}}-2\phi_{\mathrm B}-V-\gamma\sqrt{2\phi_{\mathrm B}+V}\bigr]$、$\gamma\coloneqq\sqrt{2\varepsilon_0\varepsilon_{\mathrm{rs}}eN_{\mathrm A}}/C_{\mathrm{ox}}$ を使うことになり、同じ積分から

$$I_{\mathrm D}=\mu_{\mathrm e}C_{\mathrm{ox}}\frac{w}{L}\Bigl\{\bigl(V_{\mathrm G}-V_{\mathrm{FB}}-2\phi_{\mathrm B}\bigr)V_{\mathrm D}-\frac{V_{\mathrm D}^2}{2}-\frac{2\gamma}{3}\Bigl[\bigl(2\phi_{\mathrm B}+V_{\mathrm D}\bigr)^{3/2}-\bigl(2\phi_{\mathrm B}\bigr)^{3/2}\Bigr]\Bigr\}\tag{4.9.14}$$

を得る。ドレインに近いほど $\phi_{\mathrm s}$ が大きく空乏層が厚いので、同じゲートの電圧で載せられる電子の電荷が減り、電流は式 (4.9.12) より小さくなる（図 4.9.3）。

しきい値より下の電流

$V_{\mathrm G}<V_{\mathrm{th}}$ でも、表面には $n_0\mathrm{e}^{u_{\mathrm s}}$ の電子がいて電流はゼロにならない。弱い反転（$\phi_{\mathrm B}<\phi_{\mathrm s}<2\phi_{\mathrm B}$）では、電子の電荷は空乏層の電荷より桁で小さく、電子が増えても電位はほとんど変わらない。そのためチャネルに沿った電場は小さく、電流は主に電子の濃度の勾配による拡散で流れる。ソースの端とドレインの端の電子の数の比は $\mathrm{e}^{-eV_{\mathrm D}/( k_{\mathrm B} T)}$ なので、$I_{\mathrm D}\propto\mathrm{e}^{e\phi_{\mathrm s}/( k_{\mathrm B} T)}\bigl(1-\mathrm{e}^{-eV_{\mathrm D}/( k_{\mathrm B} T)}\bigr)$ になる。

表面の電位とゲートの電圧の関係は、式 (4.9.6) を空乏の式で微分して

$$\frac{\mathrm{d} V_{\mathrm G}}{\mathrm{d}\phi_{\mathrm s}}=1+\frac{C_{\mathrm d}}{C_{\mathrm{ox}}}\eqqcolon\eta,\qquad C_{\mathrm d}=\frac{\varepsilon_0\varepsilon_{\mathrm{rs}}}{x_{\mathrm d}}\tag{4.9.15}$$

である。$C_{\mathrm d}$ は空乏層の容量で、ゲートの電圧の変化は酸化膜と空乏層の2つのコンデンサーの直列に分けられ、表面の電位にはその $1/\eta$ だけが伝わる。したがって電流を10倍にするのに要るゲートの電圧（サブスレッショルド係数）は

$$S_{\mathrm{sw}}\coloneqq\frac{\mathrm{d} V_{\mathrm G}}{\mathrm{d}\log_{10}I_{\mathrm D}}=\eta\,\frac{ k_{\mathrm B} T}{e}\ln10\tag{4.9.16}$$

である。$\eta\ge1$ なので、室温では $S_{\mathrm{sw}}\ge( k_{\mathrm B} T/e)\ln10=59.5\,\mathrm{mV}$ になる。この下限は、電子の数が Fermi 分布の裾 $\mathrm{e}^{-(\varepsilon -\mu)/( k_{\mathrm B} T)}$ で決まることだけから出ていて、材料や寸法によらない。電流を桁で切り替えるのに要る電圧に、温度で決まる下限がある。