出てくるもの1：バンドの曲がり・反転層・しきい値電圧

ハミルトニアンの選び方で固体を考える　第4部 第9章 §4.9.2　★★★ Poisson–Boltzmann 方程式の第一積分で、表面の電荷を表面の電位の関数として厳密に書く。蓄積・空乏・反転の3つの領域が1つの式から出て、表面の電位が $2\phi_{\mathrm B}$ で頭打ちになることから、しきい値電圧が決まる

第一積分

$u(x)\coloneqq e\phi(x)/( k_{\mathrm B} T)$ と書き、p 型で $p_0-n_0=N_{\mathrm A}$ を使うと、式 (4.9.2) と (4.9.3) は

$$\frac{\mathrm{d}^2\phi}{\mathrm{d} x^2}=-\frac{e}{\varepsilon_0\varepsilon_{\mathrm{rs}}}\Bigl[p_0\bigl(\mathrm{e}^{-u}-1\bigr)-n_0\bigl(\mathrm{e}^{u}-1\bigr)\Bigr]$$

になる。右辺は $\phi$ だけの関数なので、この方程式は「$x$ を時間、$\phi$ を位置とみなした1次元の粒子の Newton 方程式」と同じ形をしている。Newton 方程式でエネルギー保存の式を出すのと同じく、両辺に $2\,\mathrm{d}\phi/\mathrm{d} x$ を掛けて $x$ で積分する。バルク（$x\to\infty$）で $\phi\to0$、$\mathrm{d}\phi/\mathrm{d} x\to0$ を境界条件にすると

$$\Bigl(\frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d} x}\Bigr)^2=\frac{2 k_{\mathrm B} Tp_0}{\varepsilon_0\varepsilon_{\mathrm{rs}}}\,G(u)^2,\qquad G(u)^2=\bigl(\mathrm{e}^{-u}+u-1\bigr)+\frac{n_0}{p_0}\bigl(\mathrm{e}^{u}-u-1\bigr)\tag{4.9.7}$$

を得る。$G(u)^2$ の2つの括弧はどちらも $u$ の符号によらず $0$ 以上で、$u=0$ でだけ $0$ になる。

表面の電場 $E_{\mathrm s}=-\mathrm{d}\phi/\mathrm{d} x|_{x=0}$ は、Gauss の法則で半導体の中の全電荷と $Q_{\mathrm s}=-\varepsilon_0\varepsilon_{\mathrm{rs}}E_{\mathrm s}$ で結ばれる（$x>0$ の側に電荷があり、その外では電場が $0$）。$\phi_{\mathrm s}>0$ なら $\phi$ は奥へ向かって減るので $E_{\mathrm s}>0$ である。したがって、表面の電位 $u_{\mathrm s}=e\phi_{\mathrm s}/( k_{\mathrm B} T)$ を決めれば、半導体の電荷は

$$Q_{\mathrm s}=-\operatorname{sgn}(u_{\mathrm s})\sqrt{2\varepsilon_0\varepsilon_{\mathrm{rs}} k_{\mathrm B} Tp_0}\;G(u_{\mathrm s})\tag{4.9.8}$$

と、微分方程式を解かずに書くことができる。この式は、式 (4.9.3) と一様な $N_{\mathrm A}$ を仮定した範囲で厳密である。

蓄積・空乏・反転

式 (4.9.8) の $G(u_{\mathrm s})$ のどの項が大きいかで、3つの領域に分かれる（図 4.9.2）。

蓄積（$\phi_{\mathrm s}<0$）。ゲートを負にするとバンドが上へ曲がり、表面に正孔が集まる。$\lvert u_{\mathrm s}\rvert \gg1$ では $\mathrm{e}^{-u_{\mathrm s}}$ の項が大きく、$\lvert Q_{\mathrm s}\rvert \propto\mathrm{e}^{\lvert u_{\mathrm s}\rvert /2}$ と指数関数的に増える。

空乏（$0<\phi_{\mathrm s}<2\phi_{\mathrm B}$）。ゲートを正にするとバンドが下へ曲がり、表面から正孔が押し出される。表面には動けない負のアクセプターのイオンが残る。$1\ll u_{\mathrm s}$ で、まだ電子の項 $(n_0/p_0)\mathrm{e}^{u_{\mathrm s}}$ が $u_{\mathrm s}$ より小さいあいだは $G^2\simeq u_{\mathrm s}-1$ なので、$\lvert Q_{\mathrm s}\rvert \simeq\sqrt{2\varepsilon_0\varepsilon_{\mathrm{rs}}eN_{\mathrm A}\phi_{\mathrm s}}$ である。これは、表面から厚さ $x_{\mathrm d}$ の層の正孔をすべて取り除き、アクセプターのイオンの電荷 $-eN_{\mathrm A}$ だけを残したと考えた結果（空乏近似）

$$\phi(x)=\phi_{\mathrm s}\Bigl(1-\frac{x}{x_{\mathrm d}}\Bigr)^2\quad(0\le x\le x_{\mathrm d}),\qquad x_{\mathrm d}=\sqrt{\frac{2\varepsilon_0\varepsilon_{\mathrm{rs}}\phi_{\mathrm s}}{eN_{\mathrm A}}},\qquad Q_{\mathrm s}=-eN_{\mathrm A}x_{\mathrm d}\tag{4.9.9}$$

と同じである（第4部第5章の pn 接合の空乏層と同じ式）。空乏層の端で電位が放物線から $0$ へなめらかにつながる遷移の幅は $\lambda_{\mathrm D}$ ほどで、$-1$ の補正はその分である。

反転（$\phi_{\mathrm s}>2\phi_{\mathrm B}$）。表面の電子の数密度は $n(0)=n_0\mathrm{e}^{u_{\mathrm s}}=(n_{\mathrm i}^2/N_{\mathrm A})\mathrm{e}^{u_{\mathrm s}}$ で、$\phi_{\mathrm s}=2\phi_{\mathrm B}$ のときちょうど $N_{\mathrm A}$ になる。バンドの言葉では、表面で化学ポテンシャルが $\varepsilon _{\mathrm i}$ より $e\phi_{\mathrm B}$ だけ上にあり、バルクの p 型と逆向きに同じだけ偏っている（図 4.9.1）。これを越えると表面は n 型のように電子が多数になる。これを反転と呼び、$\phi_{\mathrm s}=2\phi_{\mathrm B}$ を強い反転の始まりとする。この先は電子の項が $\mathrm{e}^{u_{\mathrm s}/2}$ で増えるので、電荷は指数関数的に増える。

しきい値電圧

反転を越えると、表面の電位を $k_{\mathrm B} T/e$ の数倍だけ上げるたびに電子の電荷が数倍ずつ増える。式 (4.9.6) で $V_{\mathrm{ox}}=-Q_{\mathrm s}/C_{\mathrm{ox}}$ が電荷とともに大きくなるので、ゲートの電圧を上げても、増えた分のほとんどは酸化膜にかかり、$\phi_{\mathrm s}$ は $2\phi_{\mathrm B}$ の近くにとどまる（例題 4.9.3）。そこで、強い反転では $\phi_{\mathrm s}\simeq2\phi_{\mathrm B}$ と固定し、空乏層の電荷もそのときの値

$$Q_{\mathrm{dep}}=-\sqrt{2\varepsilon_0\varepsilon_{\mathrm{rs}}eN_{\mathrm A}\cdot2\phi_{\mathrm B}},\qquad x_{\mathrm{d,max}}=\sqrt{\frac{2\varepsilon_0\varepsilon_{\mathrm{rs}}\cdot2\phi_{\mathrm B}}{eN_{\mathrm A}}}$$

で止まるとみなす。$Q_{\mathrm s}=Q_{\mathrm{dep}}+Q_{\mathrm n}$（$Q_{\mathrm n}$ は反転層の電子の電荷）を式 (4.9.6) に入れると

$$Q_{\mathrm n}=-C_{\mathrm{ox}}\bigl(V_{\mathrm G}-V_{\mathrm{th}}\bigr),\qquad V_{\mathrm{th}}=V_{\mathrm{FB}}+2\phi_{\mathrm B}+\frac{\sqrt{2\varepsilon_0\varepsilon_{\mathrm{rs}}eN_{\mathrm A}\cdot2\phi_{\mathrm B}}}{C_{\mathrm{ox}}}\tag{4.9.10}$$

を得る。しきい値電圧 $V_{\mathrm{th}}$ は、バンドを $2\phi_{\mathrm B}$ だけ曲げる電圧と、空乏層の電荷を酸化膜のコンデンサーに載せる電圧の和である。$V_{\mathrm{th}}$ を越えた分の電圧は、酸化膜のコンデンサーの式どおりに電子の電荷になる。反転層の電子は、ゲートの金属と酸化膜をはさんで向かい合うコンデンサーのもう一方の極板である。

ちょうど $\phi_{\mathrm s}=2\phi_{\mathrm B}$ では $(n_0/p_0)\mathrm{e}^{u_{\mathrm s}}=1$ なので、式 (4.9.7) は $G^2=\mathrm{e}^{-u_{\mathrm s}}+u_{\mathrm s}-(n_0/p_0)(u_{\mathrm s}+1)\simeq u_{\mathrm s}$ になり、厳密な $\lvert Q_{\mathrm s}\rvert$ は空乏近似の値と一致する。空乏近似が落とした $-1$（空乏層の端の遷移）を、表面の電子の電荷がちょうど埋め合わせている。