出てくるもの3：反転層は2次元電子系

ハミルトニアンの選び方で固体を考える　第4部 第9章 §4.9.4　★★★ 反転層の電子は表面の三角形の井戸に閉じ込められ、縦の運動は Airy 関数の準位に量子化される。いちばん下の準位だけに電子が入るとき、電子は面内だけを動く2次元電子系になり、磁場の中で Landau 準位の詰まり方をゲートの電圧で変えられる

三角形の井戸

4.9.1節では、電位がゆっくり変わるとして、各点の電子の数を局所の Boltzmann 因子で書いた。反転層ではこの前提を確かめる必要がある。表面の近くの電子のポテンシャルエネルギーは $-e\phi(x)\simeq-e\phi_{\mathrm s}+eE_{\mathrm s}x$ で、$x$ とともに直線で上がる。$x<0$ には酸化膜の高い壁（Si の伝導帯から数 eV 上）があるので、電子は $x=0$ の壁と傾いたポテンシャルにはさまれた三角形の井戸にいる。Si の (100) 面を表面にとると、6つの谷のうち長軸が表面に垂直な2つの谷では縦の質量が $m_{\mathrm l}$、面内の質量が $m_{\mathrm t}$ になる。式 (4.9.1) の固有状態を$\psi=\zeta_j(x)\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}(k_yy+k_zz)}$ と書くと、縦の部分は

$$-\frac{\hbar^2}{2m_{\mathrm l}}\frac{\mathrm{d}^2\zeta_j}{\mathrm{d} x^2}+eE_{\mathrm s}x\,\zeta_j=\varepsilon _j\zeta_j,\qquad\zeta_j(0)=0,\quad\zeta_j(\infty)=0\tag{4.9.17}$$

を満たす（エネルギーは表面の伝導帯の底から測る）。$\ell=\bigl(\hbar^2/(2m_{\mathrm l}eE_{\mathrm s})\bigr)^{1/3}$ を単位にした座標 $s=x/\ell-\varepsilon _j/(eE_{\mathrm s}\ell)$ で、方程式は Airy 方程式 $\zeta''=s\zeta$ になる。$s\to\infty$ で減る解は Airy 関数 $\operatorname{Ai}(s)$ で、$x=0$ で $0$ になる条件は $\operatorname{Ai}(-\varepsilon _j/(eE_{\mathrm s}\ell))=0$ である。$\operatorname{Ai}(-z)$ の零点を $z_1=2.338$、$z_2=4.088$、… と書くと

$$\varepsilon _j=\Bigl(\frac{\hbar^2}{2m_{\mathrm l}}\Bigr)^{1/3}\bigl(eE_{\mathrm s}\bigr)^{2/3}z_j,\qquad \langle x \rangle _j=\frac{2\varepsilon _j}{3eE_{\mathrm s}}\tag{4.9.18}$$

を得る。2つ目の式は、直線のポテンシャルでは運動エネルギーの平均がポテンシャルエネルギーの平均の半分になる（ビリアル定理）ことから出る。残りの4つの谷では縦の質量が $m_{\mathrm t}$ なので、同じ $z_j$ で準位がより高くなる。

1つの準位 $j$ に属する状態のエネルギーは $\varepsilon _j+\hbar^2(k_y^2+k_z^2)/(2m_{\mathrm t})$ で、$\varepsilon _j$ を底にした面内の放物線になる。この1本の帯をサブバンドと呼ぶ。2次元の波数空間で状態を数えると（第2部第6章と同じ数え方を2次元で行う）、1つのサブバンドの単位面積あたりの状態密度は、スピンの2と谷の数 $g_{\mathrm v}=2$ を掛けて

$$D_2(\varepsilon )=\frac{g_{\mathrm v}m_{\mathrm t}}{\pi\hbar^2}\qquad(\varepsilon >\varepsilon _1)\tag{4.9.19}$$

で、エネルギーによらない一定値になる。いちばん下のサブバンドだけに電子が入っているとき、反転層の電子の面密度 $n_{\mathrm s}=\lvert Q_{\mathrm n}\rvert /e=C_{\mathrm{ox}}(V_{\mathrm G}-V_{\mathrm{th}})/e$ は$n_{\mathrm s}=D_2\cdot(\mu-\varepsilon _1)$（絶対零度）で決まる。ゲートの電圧で面密度を連続に変えられる2次元の電子系である。Si の反転層のサブバンドの理論と実験は T. Ando, A. B. Fowler, F. Stern (1982), Rev. Mod. Phys. 54, 437 にまとめられている。

磁場の中の2次元電子系：量子 Hall 効果への入口

表面に垂直に磁場 $B$ をかけると、面内の円運動が量子化され、サブバンドは Landau 準位 $\varepsilon _1+\hbar\omega_{\mathrm c}(N+\tfrac12)$（$\omega_{\mathrm c}=eB/m_{\mathrm t}$、$N=0,1,2,\dots$）に分かれる。1つの Landau 準位には、スピンと谷の1つの組あたり単位面積に $eB/h$ 個の状態がある（第4部第4章）。そこで

$$\nu\coloneqq\frac{n_{\mathrm s}}{eB/h}=\frac{hC_{\mathrm{ox}}(V_{\mathrm G}-V_{\mathrm{th}})}{e^2B}\tag{4.9.20}$$

は、詰まっている準位（スピンと谷を別に数えたもの）の数を表し、充填率と呼ぶ。式 (4.9.20) の右辺は $V_{\mathrm G}$ の1次式なので、ゲートの電圧を掃くと、磁場を固定したまま充填率を連続に変えることができる。

$\nu$ が整数の近くで、Fermi 準位が Landau 準位の間の隙間にあるとき、面内の縦の抵抗は $0$ に近づき、Hall 抵抗は

$$R_{\mathrm H}=\frac{h}{\nu e^2}\qquad(\nu=1,2,3,\dots)$$

の値で平らになる。K. von Klitzing, G. Dorda, M. Pepper (1980), Phys. Rev. Lett. 45, 494 は、Si の MOSFET の反転層でゲートの電圧を掃き、Hall 抵抗が $h/e^2$ を整数で割った値に平らになることを見つけた。平らな値は試料の形や移動度によらず、$h/e^2$ だけで決まる。なぜ乱れのある試料で値がこれほど正確に決まるのかは、この章の近似では説明できず、Hall 伝導度を位相的な整数として書き直すことで説明される（第4部第4章・第5部第5章）。