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出てくるもの (1)：Landau 準位

2026年10月15日12分で読めますAI生成教科書『虎の巻』第4部 第6章 電磁場中の量子力学
目次
  1. 上げ下げ演算子を作る
  2. 残りの自由度：円の中心
  3. Landau ゲージで書いた固有関数
  4. 木下の層

AI 生成・木下が未勉強

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第4部 第6章 §4.6.3　★★★ 速度の2成分の交換子から調和振動子の上げ下げ演算子が作れ、エネルギーは ℏωc(n+12)\hbar\omega_{\mathrm c}(n+\frac12)。円の中心の自由度が縮退度 qBS/(2πℏ)qBS/(2\pi\hbar) を与える

上げ下げ演算子を作る

一様な磁場 B=Bez\bm{B}=B\bm{e}_z（q>0q>0, B>0B>0）の中で xyxy 平面を動く粒子の Hamiltonian は H^=m2(v^x2+v^y2)\hat H=\frac m2(\hat v_x^2+\hat v_y^2) である。式 (4.6.5) により [mv^x, mv^y]=iℏqB\left[m\hat v_x,\,m\hat v_y\right]=\mathrm{i}\hbar qB は定数なので、mv^xm\hat v_x と mv^ym\hat v_y は、定数倍を除いて1次元の調和振動子の位置と運動量と同じ交換関係を満たす。H^\hat H がその2乗の和であることから、第4部第4章の調和振動子の手順をそのまま使うことができる。

a^≔mv^x+imv^y2ℏqB,a^†=mv^x−imv^y2ℏqB(4.6.10)\hat a\coloneqq\frac{m\hat v_x+\mathrm{i} m\hat v_y}{\sqrt{2\hbar qB}},\qquad\hat a^\dagger=\frac{m\hat v_x-\mathrm{i} m\hat v_y}{\sqrt{2\hbar qB}}\tag{4.6.10}

と定めると、[a^, a^†]=12ℏqB(−i[mv^x, mv^y]+i[mv^y, mv^x])=2ℏqB2ℏqB=1\left[\hat a,\,\hat a^\dagger\right]=\frac{1}{2\hbar qB}\bigl(-\mathrm{i}\left[m\hat v_x,\,m\hat v_y\right]+\mathrm{i}\left[m\hat v_y,\,m\hat v_x\right]\bigr)=\frac{2\hbar qB}{2\hbar qB}=1 である。a^†a^=12ℏqB(m2v^x2+m2v^y2+i[mv^x, mv^y])=m2(v^x2+v^y2)−ℏqB2ℏqB\hat a^\dagger\hat a=\frac{1}{2\hbar qB}\bigl(m^2\hat v_x^2+m^2\hat v_y^2+\mathrm{i}\left[m\hat v_x,\,m\hat v_y\right]\bigr)=\frac{m^2(\hat v_x^2+\hat v_y^2)-\hbar qB}{2\hbar qB} から

H^=ℏωc(a^†a^+12),ωc=qBm(4.6.11)\hat H=\hbar\omega_{\mathrm c}\Bigl(\hat a^\dagger\hat a+\frac12\Bigr),\qquad\omega_{\mathrm c}=\frac{qB}{m}\tag{4.6.11}

を得る。a^†a^\hat a^\dagger\hat a の固有値は n=0,1,2,…n=0,1,2,\dots なので、エネルギーは

En=ℏωc(n+12)(n=0,1,2,… )(4.6.12)E_n=\hbar\omega_{\mathrm c}\Bigl(n+\frac12\Bigr)\qquad(n=0,1,2,\dots)\tag{4.6.12}

に限られる。これを Landau 準位と呼ぶ（Landau が導いた1L. Landau (1930), Zeitschrift für Physik 64, 629–637.下の脚注へ）。この導き方ではゲージを一度も選んでいない。使ったのは、ゲージによらない交換関係 (4.6.5) だけである。

古典の HH は m2(vx2+vy2)\frac m2(v_x^2+v_y^2) で、サイクロトロン運動のエネルギーはどんな正の値でも取れた。エネルギーが離散的になったのは、2つの速度成分が交換せず、片方が「位置」、もう片方が「運動量」の役をする1自由度の振動子になったためである。電子（q=−eq=-e）では qB<0qB<0 となるので、a^\hat a の定義で i\mathrm{i} の符号を反対にし、ωc=eB/m\omega_{\mathrm c}=eB/m と大きさで書けば同じ結果になる。

残りの自由度：円の中心

xyxy 平面の粒子は2自由度なので、振動子1つでは足りない。残りの自由度は、例題 4.6.2 の円の中心 (x^g,y^g)(\hat x_{\mathrm g},\hat y_{\mathrm g}) である。x^g=x^+v^y/ωc\hat x_{\mathrm g}=\hat x+\hat v_y/\omega_{\mathrm c} と mv^xm\hat v_x, mv^ym\hat v_y の交換子は、式 (4.6.5) から

[x^g, mv^x]=iℏ+1ωc[v^y, mv^x]=iℏ−iℏ=0,[x^g, mv^y]=0\left[\hat x_{\mathrm g},\,m\hat v_x\right]=\mathrm{i}\hbar+\frac{1}{\omega_{\mathrm c}}\left[\hat v_y,\,m\hat v_x\right]=\mathrm{i}\hbar-\mathrm{i}\hbar=0,\qquad\left[\hat x_{\mathrm g},\,m\hat v_y\right]=0

で、y^g\hat y_{\mathrm g} も同じである。したがって x^g\hat x_{\mathrm g}, y^g\hat y_{\mathrm g} は a^\hat a, a^†\hat a^\dagger と交換し、エネルギーを変えない。その一方で

[x^g, y^g]=−iℏqB(4.6.13)\left[\hat x_{\mathrm g},\,\hat y_{\mathrm g}\right]=-\frac{\mathrm{i}\hbar}{qB}\tag{4.6.13}

なので、(x^g,y^g)(\hat x_{\mathrm g},\hat y_{\mathrm g}) はもう1組の「位置と運動量」になっている。2自由度の系は、エネルギーを担う振動子（a^\hat a, a^†\hat a^\dagger）と、エネルギーに入らない中心の自由度に分かれた。エネルギーに入らない自由度があるので、各 Landau 準位は大きく縮退する。

縮退の数は、中心の位置の数を数えれば分かる。式 (4.6.13) は、x^g\hat x_{\mathrm g} と y^g\hat y_{\mathrm g} が ℏ→ℏ/(qB)\hbar\to\hbar/(qB) とした位置と運動量の関係にあることを言っている。Bohr–Sommerfeld の数え方（相空間の面積 2πℏ2\pi\hbar に1つの状態）を当てはめると、面積 SS の試料の中では中心の状態の数が

N=S2πℏ/(qB)=qBS2πℏ=ΦBh/q(4.6.14)N=\frac{S}{2\pi\hbar/(qB)}=\frac{qBS}{2\pi\hbar}=\frac{\Phi_B}{h/q}\tag{4.6.14}

になる。ΦB=BS\Phi_B=BS は試料を貫く磁束で、1つの Landau 準位には、磁束を単位 h/qh/q で数えた数だけの状態がある。長さの目安として 磁気長 ℓB≔ℏ/(qB)\ell_B\coloneqq\sqrt{\hbar/(qB)} を定めると、中心1つあたりの面積は 2πℓB22\pi\ell_B^2 で、最低準位の波動関数の広がりも ℓB\ell_B 程度である。

Landau ゲージで書いた固有関数

数え方 (4.6.14) を具体的な波動関数で確かめる。Landau ゲージ A=(0,Bx,0)\bm{A}=(0,Bx,0) を選ぶと H^\hat H は yy を含まないので、p^y\hat p_y と交換する。固有関数を ψ=eikyyφ(x)\psi=\mathrm{e}^{\mathrm{i} k_yy}\varphi(x) とおくと、p^y−qBx\hat p_y-qBx は ℏky−qBx\hbar k_y-qBx に置き換わり、

H^ψ=eikyy[−ℏ22md2φdx2+(ℏky−qBx)22mφ]=eikyy[−ℏ22md2φdx2+12mωc2(x−xk)2φ]\hat H\psi=\mathrm{e}^{\mathrm{i} k_yy}\Bigl[-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\mathrm{d}^2\varphi}{\mathrm{d} x^2}+\frac{(\hbar k_y-qBx)^2}{2m}\varphi\Bigr] =\mathrm{e}^{\mathrm{i} k_yy}\Bigl[-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\mathrm{d}^2\varphi}{\mathrm{d} x^2}+\frac12m\omega_{\mathrm c}^2(x-x_k)^2\varphi\Bigr]

となる。ここで xk≔ℏky/(qB)=kyℓB2x_k\coloneqq\hbar k_y/(qB)=k_y\ell_B^2 とおいた。これは中心 xkx_k の1次元の調和振動子で、固有関数は振動子の固有関数 φn(x−xk)\varphi_n(x-x_k)、固有値は式 (4.6.12) の EnE_n である。固有値は kyk_y によらない。このゲージでは x^g=x^+(p^y−qBx^)/(qB)=p^y/(qB)\hat x_{\mathrm g}=\hat x+(\hat p_y-qB\hat x)/(qB)=\hat p_y/(qB) なので、xkx_k は円の中心の xx 座標の固有値そのもので、y^g\hat y_{\mathrm g} のほうは不定になっている（図 4.6.1）。

3次元では H^\hat H が zz も含まない。そのため固有関数は ei(kyy+kzz)φ(x)\mathrm{e}^{\mathrm{i}(k_yy+k_zz)}\varphi(x) の形に置け、エネルギーには ℏ2kz2/(2m)\hbar^2k_z^2/(2m) が足される。yy と zz は循環座標で、対応する運動量は保存する。一方 H^\hat H は座標 xx を含むので、その方向の運動量は保存しない。

試料を 0<x<Lx0<x<L_x, 0<y<Ly0<y<L_y の長方形とし、yy 方向に周期境界条件を課すと、ky=2πny/Lyk_y=2\pi n_y/L_y（nyn_y は整数）である。中心 xkx_k が試料の中にある条件 0<ℏky/(qB)<Lx0<\hbar k_y/(qB)<L_x を満たす nyn_y の数は Lx qBLy/(2πℏ)L_x\,qBL_y/(2\pi\hbar) で、式 (4.6.14) と一致する。古典力学で一様な磁場の円運動を考えると、円の大きさ（エネルギー）は1つの連続なパラメータ、円の中心の位置は2つの連続なパラメータだった。量子力学では、前者が nn で離散的になり、後者が面積 2πℓB22\pi\ell_B^2 ごとに1つ数えられる状態になった。

図

図 4.6.1　Landau ゲージの固有関数の確率密度 ∣φn(x−xk)∣2\lvert \varphi_n(x-x_k)\rvert ^2（n=0,1,2n=0,1,2）を、エネルギー EnE_n の高さに描いたもの。中心 xk=kyℓB2x_k=k_y\ell_B^2 の違う2組を並べた。中心を動かしてもエネルギーは変わらないので、各準位は中心の数だけ縮退する。曲線は厳密解（点線）で、近似は入っていない

例題 4.6.3　半導体の2次元電子の Landau 準位 ★★

オリジナルGaAs の界面に閉じ込めた2次元電子は、結晶の中で有効質量 m∗=0.067 mem^*=0.067\,m_{\mathrm e} の自由な粒子のように動く（me=9.109×10−31 kgm_{\mathrm e}=9.109\times10^{-31}\,\mathrm{kg}、電荷 −e-e、e=1.602×10−19 Ce=1.602\times10^{-19}\,\mathrm C）。ℏ=1.055×10−34 J s\hbar=1.055\times10^{-34}\,\mathrm{J\,s}、h=6.626×10−34 J sh=6.626\times10^{-34}\,\mathrm{J\,s}、kB=1.381×10−23 J/Kk_{\mathrm B}=1.381\times10^{-23}\,\mathrm{J/K} とし、B=10 TB=10\,\mathrm T とする。

  1. (1) 準位の間隔 ℏωc=ℏeB/m∗\hbar\omega_{\mathrm c}=\hbar eB/m^* を meV\mathrm{meV} で求め、温度 ℏωc/kB\hbar\omega_{\mathrm c}/ k_{\mathrm B} に直せ。
  2. (2) 磁気長 ℓB=ℏ/(eB)\ell_B=\sqrt{\hbar/(eB)} を求めよ。1 T1\,\mathrm T ではいくらか。
  3. (3) 1つの Landau 準位に入る状態の面密度 eB/heB/h を求めよ。(2)(3) の量が質量によらない理由を述べよ。
解答

自由な電子（mem_{\mathrm e}）の 1 T1\,\mathrm T での値 ℏωc=0.116 meV\hbar\omega_{\mathrm c}=0.116\,\mathrm{meV}・1準位あたり 1 μm21\,\mu\mathrm m^2 に 242242 個は第4部第4章の4.4.7節の総合問題 (5) で求めた。

(1) ℏωc=1.055×10−34×1.602×10−19×10/(0.067×9.109×10−31)=2.769×10−21 J=17.3 meV\hbar\omega_{\mathrm c}=1.055\times10^{-34}\times1.602\times10^{-19}\times10/(0.067\times9.109\times10^{-31})=2.769\times10^{-21}\,\mathrm J=17.3\,\mathrm{meV}。温度に直すと 2.769×10−21/1.381×10−23=200 K2.769\times10^{-21}/1.381\times10^{-23}=200\,\mathrm K である。自由な電子の 10 T10\,\mathrm T の間隔（1.16 meV1.16\,\mathrm{meV}）の 1/0.067≈151/0.067\approx15 倍で、有効質量が小さいほど同じ磁場で準位の間隔が広がる。準位が分かれて見えるには、熱のエネルギー kBTk_{\mathrm B} T がこれより十分小さい必要がある（ほかに、散乱による準位の幅も ℏωc\hbar\omega_{\mathrm c} より小さい必要がある）ので、液体ヘリウムの温度（4 K4\,\mathrm K）なら余裕をもって分かれる。

(2) ℓB=1.055×10−34/(1.602×10−19×10)=8.11 nm\ell_B=\sqrt{1.055\times10^{-34}/(1.602\times10^{-19}\times10)}=8.11\,\mathrm{nm}。ℓB∝B−1/2\ell_B\propto B^{-1/2} なので 1 T1\,\mathrm T では 10\sqrt{10} 倍の 25.7 nm25.7\,\mathrm{nm} である。

(3) eB/h=1.602×10−19×10/6.626×10−34=2.42×1015 m−2eB/h=1.602\times10^{-19}\times10/6.626\times10^{-34}=2.42\times10^{15}\,\mathrm{m^{-2}}（=2.42×1011 cm−2=2.42\times10^{11}\,\mathrm{cm^{-2}}）。ℓB\ell_B と縮退度 N=qBS/(2πℏ)N=qBS/(2\pi\hbar)（式 (4.6.14)）には mm が入らない。縮退度は円の中心の2つの座標の交換関係 [x^g, y^g]=−iℏ/(qB)\left[\hat x_g,\,\hat y_g\right]=-\mathrm{i}\hbar/(qB) だけで決まり、中心の位置は質量によらない量だからである。半導体の界面の2次元電子の面密度はこれと同じ程度の大きさなので、10 T10\,\mathrm T 程度の磁場で、電子が数個の Landau 準位だけを占める状態を作ることができる。これが量子 Hall 効果の舞台になる（Berry 曲率との関係は第4部第11章）。

ほかの巻では

1　L. Landau (1930), Zeitschrift für Physik 64, 629–637.

木下の勉強ステータス

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