出てくるもの3：量子振動と Landau 反磁性

ハミルトニアンの選び方で固体を考える　第4部 第4章 §4.4.4　★★★ Landau 準位が Fermi 準位を横切るたびに磁化が振動する。周期は $1/B$ で測って Fermi 面の極値断面積 $\mathcal A_{\mathrm{ext}}$ だけで決まる。振動を均した滑らかな部分が Landau 反磁性で、自由電子では Pauli 常磁性の $-1/3$ 倍

2次元の状態密度：一様から櫛へ

まず磁場に垂直な面内だけで動く2次元の電子（面密度 $n$）を考える。磁場が無いとき、2次元の状態密度は両スピンで $D_{2}=m^*/(\pi\hbar^2)$ と一定である。磁場の中では、エネルギーは $\hbar\omega_{\mathrm c}(\nu+\frac12)$ だけになり、各準位に面積あたり両スピンで $2eB/h$ 個の状態が載る。状態密度はデルタ関数の櫛

$$D_B(\varepsilon )=\frac{2eB}{h}\sum_{\nu=0}^\infty\delta\bigl(\varepsilon -\hbar\omega_{\mathrm c}(\nu+\tfrac12)\bigr) =D_{2}\Bigl[1+2\sum_{p=1}^\infty(-1)^p\cos\frac{2\pi p\varepsilon }{\hbar\omega_{\mathrm c}}\Bigr]\quad(\varepsilon >0)\tag{4.4.18}$$

である。第1の等号の係数 $2eB/h$ を間隔 $\hbar\omega_{\mathrm c}=\hbar eB/m^*$ で割ると $m^*/(\pi\hbar^2)=D_2$ になるので、磁場は状態の総数を変えず、一様に並んでいた状態を $\hbar\omega_{\mathrm c}$ ごとの束に寄せ集める。第2の等号は、デルタ関数の周期的な並びを Fourier 級数に直したもの（Poisson の和公式）で、4.4.5節で温度と散乱の効果を入れるときに使う。各項 $p$ を「$p$ 次の高調波」と呼ぶ。

絶対零度の磁化：のこぎりの歯

絶対零度の全エネルギーは、下から準位を詰めて求める。1つの準位の容量を $N_B=2eB/h$（面積あたり）とし、満ちた準位が $N$ 本、残りの $n-NN_B$ 個が $N$ 番目の準位に入っているとすると

$$E(B)=\hbar\omega_{\mathrm c}\Bigl[\sum_{\nu=0}^{N-1}N_B\Bigl(\nu+\frac12\Bigr)+(n-NN_B)\Bigl(N+\frac12\Bigr)\Bigr] =\hbar\omega_{\mathrm c}\Bigl[\frac{N_BN^2}{2}+(n-NN_B)\Bigl(N+\frac12\Bigr)\Bigr]\tag{4.4.19}$$

である（面積あたり）。面積あたりの磁気モーメント（単位 A）は $M=-\partial E/\partial B$ で、ちょうど1本の準位が満ちる磁場 $B_1=nh/(2e)$ を単位に書くと

$$\frac{M}{ne\hbar/(2m^*)}=-(2N+1)+2N(N+1)\frac{B}{B_1}\qquad\Bigl(\frac{B_1}{N+1}<B<\frac{B_1}{N}\Bigr)\tag{4.4.20}$$

になる。磁場を下げて $B_1/B$ がちょうど整数 $N$ を越えると、満ちていた準位の上に新しい準位が入り始め、$M$ は $-ne\hbar/(2m^*)$ から $+ne\hbar/(2m^*)$ へ跳ぶ。エネルギーは連続で、その傾きだけが跳ぶ。図 4.4.2 のように、$M$ を $1/B$ の関数として描くと周期 $\Delta(1/B)=1/B_1$ ののこぎりの歯になる。

周期を Fermi 面の言葉で書き直す。2次元では $n=k_{\mathrm F}^2/(2\pi)$（両スピン）なので、Fermi 円の面積 $\mathcal A_{\mathrm F}=\pi k_{\mathrm F}^2=2\pi^2n$ を使うと

$$\Delta\Bigl(\frac1B\Bigr)=\frac{2e}{nh}=\frac{2\pi e}{\hbar\mathcal A_{\mathrm F}}\tag{4.4.21}$$

である。これは Onsager の関係 (4.4.6) で、隣り合う準位の面積の差 $2\pi eB/\hbar$ が Fermi 円の面積を何回で埋めるかを数えたものと同じである。周期は面積だけで決まり、$m^*$ も $\tau$ も入らない。

3次元：極値断面積を測る

3次元では、磁場に沿った運動 $\hbar^2k_z^2/(2m^*)$ が残るので、各 Landau 準位は1次元の帯になる。1次元の状態密度は帯の底で $(\varepsilon -\varepsilon _0)^{-1/2}$ の形に発散するので、状態密度は (4.4.4) の各準位の底 $\hbar\omega_{\mathrm c}(\nu+\frac12)$ で発散する山の並びになる。式で書くと、$x=\varepsilon /(\hbar\omega_{\mathrm c})$ として

$$D_B(\varepsilon )=\frac{1}{2\pi^2}\Bigl(\frac{2m^*}{\hbar^2}\Bigr)^{3/2}\sqrt{\hbar\omega_{\mathrm c}}\cdot\frac12\sum_{\nu=0}^{\infty}\frac{\Theta(x-\nu-\frac12)}{\sqrt{x-\nu-\frac12}}\tag{4.4.22}$$

である（$\Theta$ は階段関数）。$\nu$ についての和をエネルギーの積分に置き換えると $\sqrt x$ になり、磁場の無い3次元の状態密度 $\frac{1}{2\pi^2}(2m^*/\hbar^2)^{3/2}\sqrt\varepsilon$ に戻る（図 4.4.3）。

Fermi 準位の状態密度は、Fermi 球を $k_z$ ごとの円の断面に切り、各断面が Landau 準位の条件 (4.4.6) を満たすかどうかで決まる。$k_z$ を動かすと断面積は連続に変わるので、ほとんどの断面からの寄与は互いに位相がずれて打ち消し合う。打ち消されずに残るのは、$k_z$ を少し動かしても面積が変わらない断面、つまり面積が極大か極小の断面（極値断面積 $\mathcal A_{\mathrm{ext}}$）からの寄与だけである。そのため3次元の振動の周期は

$$\Delta\Bigl(\frac1B\Bigr)=\frac{2\pi e}{\hbar\mathcal A_{\mathrm{ext}}},\qquad B_{\mathrm{dH}}\coloneqq\frac{\hbar\mathcal A_{\mathrm{ext}}}{2\pi e}\tag{4.4.23}$$

になる（$B_{\mathrm{dH}}$ は振動の周波数をテスラで表したもの。解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第4部第10章と同じ記号）。振幅は打ち消しの分だけ2次元より小さくなり、$(\hbar\omega_{\mathrm c}/\varepsilon _{\mathrm F})^{1/2}$ の程度に減る。磁場の向きを回しながら $B_{\mathrm{dH}}$ を測れば、Fermi 面のさまざまな向きの極値断面積が分かり、Fermi 面の形が組み立てられる。磁化に出る振動を de Haas–van Alphen 効果、抵抗に出る振動を Shubnikov–de Haas 効果と呼ぶ（磁化の振動の最初の観測は W. J. de Haas, P. M. van Alphen (1930), Proc. Acad. Sci. Amsterdam 33, 1106。極値断面積との関係は L. Onsager (1952), Phil. Mag. 43, 1006）。

Landau 反磁性：均した部分

振動を均した後に残る滑らかな部分にも、磁場の効果は残っている。古典力学では、磁場は電子のエネルギーを変えないので、熱平衡の磁化は厳密に $0$ になる（Bohr–van Leeuwen の定理）。量子力学では、軌道の量子化のせいでエネルギーの和が積分とわずかに違い、その差が反磁性になる。L. D. Landau が示した（L. D. Landau (1930), Z. Phys. 64, 629）。

3次元の自由電子のグランドポテンシャルを Landau 準位の和で書く。$k_z$ 方向の運動だけを持つ1次元の電子の1スピンあたり・長さあたりのグランドポテンシャルを $\varphi(\varepsilon _\perp)$ とし（$\varepsilon _\perp$ は面内の運動のエネルギー）、各準位の面積あたりの状態数 $eB/h$ と2つのスピンを掛けると

$$\frac{\Omega(B)}{V}=2\cdot\frac{eB}{h}\sum_{\nu=0}^\infty\varphi\Bigl(\hbar\omega_{\mathrm c}\bigl(\nu+\tfrac12\bigr)\Bigr)=\frac{m^*}{\pi\hbar^2}\cdot\hbar\omega_{\mathrm c}\sum_{\nu=0}^\infty\varphi\Bigl(\hbar\omega_{\mathrm c}\bigl(\nu+\tfrac12\bigr)\Bigr)\tag{4.4.24}$$

である。右辺は区間 $\hbar\omega_{\mathrm c}$ の中点で関数の値を取って幅を掛けた和、つまり積分の中点公式である。中点公式の誤差は Euler–Maclaurin の公式で

$$h_0\sum_{\nu=0}^\infty g\bigl((\nu+\tfrac12)h_0\bigr)=\int_0^\infty g(x)\,\mathrm{d} x+\frac{h_0^2}{24}g'(0)+\mathcal{O}(h_0^4)\tag{4.4.25}$$

と書ける（$g$ と導関数が無限遠で $0$ になる滑らかな関数。$h_0$ は刻み幅）。第1項は磁場の無いグランドポテンシャルで、第2項が磁場の効果である。$\varphi'(0)=-\partial\varphi/\partial\mu$ は1次元・1スピンの電子の密度で、絶対零度では $k_{\mathrm F}/\pi$ である。$(\hbar\omega_{\mathrm c})^2\propto B^2$ なので、

$$\frac{\Omega(B)-\Omega(0)}{V}=\frac{m^*}{\pi\hbar^2}\frac{(\hbar\omega_{\mathrm c})^2}{24}\frac{k_{\mathrm F}}{\pi},\qquad \chi_{\mathrm L}=-\mu_0\frac{\partial^2(\Omega/V)}{\partial B^2}=-\mu_0\frac{e^2k_{\mathrm F}}{12\pi^2m^*}\tag{4.4.26}$$

を得る。$\Omega$ が $B^2$ で上がるので磁化は磁場と逆向きで、$\chi_{\mathrm L}<0$（反磁性）である。

第4部第1章の Pauli 常磁性 $\chi_{\mathrm P}=\mu_0\mu_{\mathrm B}^2D(\varepsilon _{\mathrm F})$ に $D(\varepsilon _{\mathrm F})=m^*k_{\mathrm F}/(\pi^2\hbar^2)$ と $\mu_{\mathrm B}=e\hbar/(2m)$ を入れて比べると

$$\frac{\chi_{\mathrm L}}{\chi_{\mathrm P}}=-\frac13\Bigl(\frac{m}{m^*}\Bigr)^2\tag{4.4.27}$$

である。自由電子では $-1/3$ で、伝導電子全体の磁化率は Pauli の $2/3$ 倍の常磁性になる（第4部第1章の例題で使った値）。$m^*$ が小さい半導体では Landau 反磁性が Pauli 常磁性を大きく上回る。(4.4.25) の展開は $B$ のべきの級数で、de Haas–van Alphen の振動はどの次数にも現れない。振動は $\mathrm{e}^{-2\pi^2 k_{\mathrm B} T/\hbar\omega_{\mathrm c}}$ の形の、べき級数では書けない項として残る（4.4.5節）。滑らかな部分と振動する部分は、同じ和 (4.4.24) から出る2つの部分である。