何を削ったか

ハミルトニアンの選び方で固体を考える　第4部 第4章 §4.4.5　★★★ 温度・散乱・スピンは、量子振動の周期を変えずに振幅だけを減らす。それぞれ $R_T=X/\sinh X$、$R_D=\mathrm{e}^{-\pi/\omega_{\mathrm c}\tau_{\mathrm q}}$、$R_S=\cos(\pi gm_{\mathrm c}/2m)$ の因子として書け、振幅の温度変化から有効質量が、磁場変化から $\tau_{\mathrm q}$ が読める

4.4.4節の量子振動は、絶対零度・散乱なし・スピンの分裂なしの理想化である。この節では、削ったものを1つずつ戻す。(4.4.18) の高調波の形が役に立つ。どの効果も「状態密度をエネルギーについて何かの関数でならす」操作で、ならしは Fourier 級数の各項に定数を掛けるだけだからである。

温度：Lifshitz–Kosevich の因子

有限温度で観測される量は、状態密度を Fermi 分布の微分 $-\partial f/\partial\varepsilon$（幅 $k_{\mathrm B} T$）でならしたものになる（第4部第1章）。$-\partial f/\partial\varepsilon$ は $\mu$ について対称なので、$p$ 次の高調波 $\cos(2\pi p\varepsilon /\hbar\omega_{\mathrm c})$ は $\cos(2\pi p\mu/\hbar\omega_{\mathrm c})$ に

$$R_T(p)=\int_{-\infty}^{\infty}\Bigl(-\frac{\partial f}{\partial \varepsilon }\Bigr)\cos\frac{2\pi p(\varepsilon -\mu)}{\hbar\omega_{\mathrm c}}\,\mathrm{d}\varepsilon =\frac{pX}{\sinh pX},\qquad X=\frac{2\pi^2 k_{\mathrm B} T}{\hbar\omega_{\mathrm c}}\tag{4.4.28}$$

を掛けたものになる。積分は $-\partial f/\partial\varepsilon =\beta/(4\cosh^2(\beta(\varepsilon -\mu)/2))$ の Fourier 変換で、留数の和で求まる。$X\gg1$ では $R_T\approx2X\mathrm{e}^{-X}$ と指数関数的に小さくなる。3次元の振幅にもこの因子がそのまま掛かり（I. M. Lifshitz, A. M. Kosevich (1956), Sov. Phys. JETP 2, 636）、$\omega_{\mathrm c}$ の質量は極値断面積を回るサイクロトロン質量 $m_{\mathrm c}=(\hbar^2/2\pi)\partial\mathcal A/\partial\varepsilon$（解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第4部第10章）である。周期は面積で、振幅の温度変化は質量で決まるので、2つを合わせると極値断面ごとの面積と質量の両方を測ることができる。

散乱：Dingle の因子と $\tau_{\mathrm q}$

不純物の散乱を戻すと、Landau 準位は寿命 $\tau_{\mathrm q}$ に応じた幅を持つ。準位の形を半値半幅 $\Gamma=\hbar/(2\tau_{\mathrm q})$ の Lorentz 関数とみなすと、デルタ関数の櫛はその Lorentz 関数でならされ、$p$ 次の高調波に

$$R_D(p)=\exp\Bigl(-\frac{2\pi p\Gamma}{\hbar\omega_{\mathrm c}}\Bigr)=\exp\Bigl(-\frac{\pi p}{\omega_{\mathrm c}\tau_{\mathrm q}}\Bigr)\tag{4.4.29}$$

が掛かる（R. B. Dingle (1952), Proc. R. Soc. Lond. A 211, 517）。ここに入る時間は、移動度を決める輸送緩和時間 $\tau_{\mathrm{tr}}$ でなく、状態の寿命 $\tau_{\mathrm q}$ である。前方へのわずかな散乱は電流をほとんど減らさないが、準位の位相を乱すので振動は弱める。第4部第2章で予告したとおり、振幅の磁場変化から $\tau_{\mathrm q}$ を、移動度から $\tau_{\mathrm{tr}}$ を別々に測ることができる。

スピン：Zeeman の因子

Zeeman エネルギー $\pm\frac12g\mu_{\mathrm B}B$ を戻すと、各準位が2つに分かれ、2つの櫛が $g\mu_{\mathrm B}B$ だけずれて重なる。$p$ 次の高調波は2つの平均になり、

$$R_S(p)=\cos\Bigl(\pi p\frac{g\mu_{\mathrm B}B}{\hbar\omega_{\mathrm c}}\Bigr)=\cos\Bigl(\frac{\pi pgm_{\mathrm c}}{2m}\Bigr)\tag{4.4.30}$$

が掛かる。自由電子（$g=2$、$m_{\mathrm c}=m$）では $g\mu_{\mathrm B}B=\hbar\omega_{\mathrm c}$ で、分かれた準位が隣の準位とちょうど重なり、$R_S=(-1)^p$ になる。3つの因子を合わせると、$p$ 次の振動の振幅は $R_T(p)R_D(p)R_S(p)$ に比例する。どれも周期を変えないので、Fermi 面の面積は削った効果に左右されずに測ることができる。

削ったものの一覧と札

この章で削ったものは次のとおりである。第一に、バンドを1本の放物線とし、磁場を Peierls 置換で入れた。これは磁気長 $\ell_B$ が格子定数 $a$ よりずっと長いこと、すなわち単位胞を貫く磁束 $Ba^2$ が磁束量子 $h/e$ よりずっと小さいことを前提にしている。$a=0.3\,\mathrm{nm}$ なら $h/(ea^2)=4.6\times10^4\,\mathrm T$ で、実験室の磁場はその $10^{-3}$ 以下である。単位胞あたりの磁束が $h/e$ と同程度になると、バンドは磁束の有理数の分母に応じて細かく分裂した入れ子の構造になる（D. R. Hofstadter (1976), Phys. Rev. B 14, 2239）。また、2つのバンドの間のギャップ $\varepsilon _{\mathrm g}$ が小さいと、強い磁場で電子が隣のバンドの軌道へ飛び移る（磁気的破壊）。ここではどちらも起きない範囲に限った。

第二に、古典の輸送では散乱を緩和時間 $\tau$ 1つで閉じ、量子振動では準位の幅を一定の $\Gamma$ で閉じた。第三に、電子間の相互作用を落とした。実際の金属で測る $m_{\mathrm c}$ には電子間の相互作用とフォノンによる質量の増強が含まれ、バンド計算の質量より大きく出る（第5部第1章）。第四に、スピン軌道相互作用を落とし、$g$ を定数とした。最後に、Onsager の量子化 (4.4.6) の $\frac12$ は放物線のバンドの値で、Dirac 点のまわりのように Berry 位相を持つ軌道ではずれる（第5部第5章）。