何の実験の量で確かめるか・授業で習った形との対応

ハミルトニアンの選び方で固体を考える　第4部 第4章 §4.4.6　★★ サイクロトロン共鳴は質量を、量子振動は Fermi 面の面積を、Hall 係数は密度と符号を測る。Si の伝導帯の6つの谷はサイクロトロン共鳴で見つかった

サイクロトロン共鳴

$\omega_{\mathrm c}\tau>1$ の試料にマイクロ波（角振動数 $\omega$）を当て、磁場を掃引すると、$\omega=\omega_{\mathrm c}=eB/m_{\mathrm c}$ で吸収が最大になる。共鳴の磁場からサイクロトロン質量を直接読むことができる。これは Drude の交流の伝導度（第4部第2章）に磁場を入れたもので、円偏光の片方の向きにだけ $1/(1-\mathrm{i}(\omega-\omega_{\mathrm c})\tau)$ の共鳴が現れる。

有効質量が向きによる場合、$m_{\mathrm c}$ は磁場に垂直な断面の面積の $\varepsilon$ 微分で決まる。等エネルギー面が回転楕円体 $\varepsilon =\frac{\hbar^2}{2}\bigl(\frac{k_1^2+k_2^2}{m_{\mathrm t}}+\frac{k_3^2}{m_{\mathrm l}}\bigr)$ のとき（$m_{\mathrm l}$ は軸の向き、$m_{\mathrm t}$ は横の向きの質量）、軸と磁場のなす角を $\theta$ として、中心を通る断面の楕円の面積を計算すると

$$m_{\mathrm c}(\theta)=\sqrt{\frac{m_{\mathrm t}^2m_{\mathrm l}}{m_{\mathrm t}\sin^2\theta+m_{\mathrm l}\cos^2\theta}}\tag{4.4.31}$$

を得る（質量テンソル $M$ と磁場の向きの単位ベクトル $\bm{b}$ で書けば $m_{\mathrm c}=\sqrt{\det M/(\bm{b}^{\mathsf T}M\bm{b})}$）。$\theta=0$ で $m_{\mathrm t}$、$\theta=90^\circ$ で $\sqrt{m_{\mathrm t}m_{\mathrm l}}$ である。G. Dresselhaus, A. F. Kip, C. Kittel (1955), Phys. Rev. 98, 368 は、Si と Ge の低温のサイクロトロン共鳴を磁場の向きを変えて測り、共鳴の本数と角度依存から、Si の伝導帯の底が $\langle100\rangle$ の6つの向きの回転楕円体であることを示し、$m_{\mathrm l}=(0.97\pm0.02)m$・$m_{\mathrm t}=(0.19\pm0.01)m$ を得た。

量子振動で Fermi 面を測る・Hall 係数で密度を測る

量子振動の周波数 $B_{\mathrm{dH}}$ を磁場の向きの関数として測れば、Fermi 面の極値断面積を向きごとに並べた一覧ができる。第2部第7章で見た Cu の Fermi 面は、球が Brillouin 域の六角形の面に接して「首」でつながった形をしている。$\langle111\rangle$ の向きの磁場では、球の胴の大きな断面（極大）と首の小さな断面（極小）が両方とも極値になり、周期の大きく違う2つの振動が重なって見える。磁場を $\langle111\rangle$ から大きく傾けると首の振動は消え、胴の振動が残る。こうした測定と、4.4.5節の $R_T$ による質量の測定を合わせることが、金属のバンド計算を確かめる標準の方法である。

Hall 係数は、半導体のキャリアの密度と型（n か p か）を決める最も普通の測定である。抵抗率と組み合わせると移動度 $\mu_{\mathrm e}=\lvert R_{\mathrm H}\rvert /\rho_{xx}$（電子の場合）も出る。ただし4.4.3節で見たように、キャリアが2種類あると弱い磁場の $R_{\mathrm H}$ は密度でなく移動度の重みの付いた量を測るので、磁場を変えて $R_{\mathrm H}(B)$ と $\rho_{xx}(B)$ を一緒に当てはめる。2次元の電子系の強い磁場では、Hall 抵抗が $h/(\nu_{\mathrm f}e^2)$ の平らな段になる（K. von Klitzing, G. Dorda, M. Pepper (1980), Phys. Rev. Lett. 45, 494）。$h/e^2=25812.807\,\Omega$ は2019年からの SI では定義値の $h$ と $e$ から決まる厳密な値である。

授業で習った形との対応

学部の授業では、Hall 効果を次のように導入することが多い。電荷 $q$、密度 $n$ のキャリアが速度 $v_x$ で流れ、磁場 $B$ の Lorentz 力 $qv_xB$ と Hall 電場の力 $qE_y$ がつり合うとして

$$E_y=v_xB,\qquad J_x=nqv_x\quad\Longrightarrow\quad R_{\mathrm H}=\frac{E_y}{J_xB}=\frac{1}{nq}.$$

この章の (4.4.10)・(4.4.11) は、$q=-e$ と置けばこれと同じである。この章が足したのは、緩和時間を含む運動方程式をテンソルの形で解いたことで、そこから「$\rho_{xx}$ は1種類のキャリアでは磁場によらない」「$\rho_{yx}$ は $\tau$ によらない」「2種類なら磁気抵抗が出る」が同じ計算で出る。つり合いの議論は、全員が同じ速度で動くという仮定のもとで $\rho_{yx}$ だけを求めたものにあたる。

サイクロトロン運動は授業では $m\omega^2r=qvB$ から $\omega=qB/m$ と出し、Landau 準位は自由電子の $\hbar\omega_{\mathrm c}(\nu+\frac12)+\hbar^2k_z^2/(2m)$ として習う。固体では $m$ を、極値断面の面積の $\varepsilon$ 微分で決まるサイクロトロン質量 $m_{\mathrm c}$ に置き換え、準位の条件を Onsager の面積の条件 (4.4.6) に置き換える。放物線のバンドではどちらも元の式に戻る。