出てくるもの1：Drude の伝導度テンソルと Hall 効果

ハミルトニアンの選び方で固体を考える　第4部 第4章 §4.4.2　★★★ 磁場の中の伝導度は反対称な成分を持つテンソルになる。抵抗率の非対角成分 $\rho_{yx}=-B/(ne)$ は緩和時間によらず、密度と電荷の符号だけを測る

運動方程式と伝導度テンソル

$\omega_{\mathrm c}\tau$ が任意でも、軌道の量子化を無視できる（$\hbar\omega_{\mathrm c}\ll k_{\mathrm B} T$）範囲では、電子を古典の軌道として扱ってよい。放物線のバンドで $\tau$ がエネルギーによらないとき、前の章の線形化した Boltzmann 方程式に Lorentz 力の項 $-e(\bm{v}\times\bm{B})\cdot\nabla_{\bm{k}}f/\hbar$ を足して解くと、平均の速度 $\bm{v}$ が次の Drude の運動方程式に従うのと同じ結果になる：

$$m^*\frac{\mathrm{d} \bm{v}}{\mathrm{d} t}=-e(\bm{E}+\bm{v}\times\bm{B})-\frac{m^*\bm{v}}{\tau}.\tag{4.4.7}$$

定常状態 $\mathrm{d}\bm{v}/\mathrm{d} t=0$ で $\bm{B}=B\bm{e}_z$ の面内の2成分を書くと、$0=-e(E_x+v_yB)-m^*v_x/\tau$、$0=-e(E_y-v_xB)-m^*v_y/\tau$ である。これを $v_x,v_y$ について解き、電流 $\bm{J}=-ne\bm{v}$ に入れると、$\sigma_0=ne^2\tau/m^*$ として

$$\begin{pmatrix}J_x\\J_y\end{pmatrix}=\frac{\sigma_0}{1+(\omega_{\mathrm c}\tau)^2}\begin{pmatrix}1&-\omega_{\mathrm c}\tau\\ \omega_{\mathrm c}\tau&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}E_x\\E_y\end{pmatrix}\tag{4.4.8}$$

を得る。対角成分 $\sigma_{xx}=\sigma_0/(1+(\omega_{\mathrm c}\tau)^2)$ は磁場で減り、非対角成分 $\sigma_{yx}=-\sigma_{xy}=\sigma_0\omega_{\mathrm c}\tau/(1+(\omega_{\mathrm c}\tau)^2)$ が現れる。$x$ 方向の電場で電子は $-x$ 方向へ流され、Lorentz 力 $-e\bm{v}\times\bm{B}$ で $-y$ 方向へ曲げられるので、電流は $+y$ 方向に出る。$\sigma_{yx}>0$ はこれを表している。

テンソルの形には対称性の制約がある。磁場の向きを逆にすると $\omega_{\mathrm c}\tau$ の符号が変わるので、(4.4.8) は

$$\sigma_{xy}(\bm{B})=\sigma_{yx}(-\bm{B})\tag{4.4.9}$$

を満たす。これが磁場があるときの Onsager の相反関係で、第4部第3章で予告した $L_{ab}(\bm{B})=L_{ba}(-\bm{B})$ の電気伝導の成分にあたる。時間反転で磁場の向きが変わるので、対称になるのは同じ $\bm{B}$ での $\sigma_{xy}$ と $\sigma_{yx}$ でなく、逆向きの磁場での組である。

抵抗率テンソルと Hall 係数

実験では電流を $x$ 方向に流し、$y$ 方向には電流が流れないように端を開けておく（Hall の配置）。このときは、電流から電場を求める抵抗率テンソル $\rho=\sigma^{-1}$ を使うのが便利である。(4.4.8) の逆行列は

$$\rho=\frac{1}{\sigma_0}\begin{pmatrix}1&\omega_{\mathrm c}\tau\\ -\omega_{\mathrm c}\tau&1\end{pmatrix},\qquad \rho_{xx}=\frac{1}{\sigma_0},\qquad \rho_{yx}=-\frac{\omega_{\mathrm c}\tau}{\sigma_0}=-\frac{B}{ne}\tag{4.4.10}$$

である。2つのことが分かる。第一に、$\rho_{xx}$ は磁場によらない。キャリアが1種類で $\tau$ がそろっていれば、磁気抵抗は $0$ である。第二に、$\rho_{yx}$ では $\tau$ と $m^*$ が消え、密度 $n$ と電荷の符号だけが残る。$J_y=0$ のとき $E_y=\rho_{yx}J_x$ なので、Hall 係数は

$$R_{\mathrm H}\coloneqq\frac{E_y}{J_xB}=\frac{\rho_{yx}}{B}=-\frac{1}{ne}\tag{4.4.11}$$

になる。解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第4部第11章では同じ Hall 抵抗率を $\rho_{xy}=R_{\mathrm H}B$ と書く。添字の順が逆なだけで、量はこの章の $\rho_{yx}$ と同じである。電荷 $+e$ のキャリア（正孔）では運動方程式の $-e$ が $+e$ に変わり、$\sigma_{yx}$ と $R_{\mathrm H}$ の符号が逆になる（$R_{\mathrm H}=+1/(pe)$）。ほとんど満ちたバンドの空きが正の電荷の粒子のように振る舞うこと（第2部第7章・第4部第2章）は、この符号として直接測られる。

$\rho_{xx}$ が変わらないのに $\sigma_{xx}$ が減るのは矛盾でない。Hall の配置では、電子が $-y$ 方向へ曲げられて試料の端に溜まり、その電荷が作る Hall 電場 $E_y$ が Lorentz 力をちょうど打ち消す。すべての電子が同じ速度で動いているので、全員について打ち消しが成り立ち、電子は磁場が無いときと同じようにまっすぐ流れる。(4.4.8) の $\sigma_{xx}$ は $E_y=0$ に固定した配置（端を短絡した配置）の値で、こちらでは曲げが打ち消されずに伝導度が減る。

電流と電場のなす角 $\theta_{\mathrm H}$（Hall 角）は $\tan\theta_{\mathrm H}=\sigma_{yx}/\sigma_{xx}=\omega_{\mathrm c}\tau=\mu_{\mathrm e}B$ で、移動度を測る量になる。強い磁場 $\omega_{\mathrm c}\tau\to\infty$ では $\sigma_{xx}\to0$、$\sigma_{yx}\to ne/B$ となり、Hall 伝導度もまた $\tau$ によらなくなる。2次元の電子系で面密度を $n$ とし、占有率 $\nu_{\mathrm f}=nh/(eB)$（スピンを分けて数えた Landau 準位を何本満たすか）を使うと

$$\sigma_{yx}\to\frac{ne}{B}=\nu_{\mathrm f}\frac{e^2}{h}\tag{4.4.12}$$

と書ける。古典の式では $\nu_{\mathrm f}$ は磁場とともに連続に変わるが、Landau 準位の間に Fermi 準位がある2次元の系では $\nu_{\mathrm f}$ が整数に固定され、Hall 伝導度が $e^2/h$ の整数倍の平らな段になる。これが量子 Hall 効果で、反転層の2次元電子系（第4部第9章）と Berry 曲率の言葉（第5部第5章）で扱う。