出てくるもの2：2種類のキャリアと磁気抵抗

ハミルトニアンの選び方で固体を考える　第4部 第4章 §4.4.3　★★★ 電子と正孔が共存すると、Hall 電場は両方の Lorentz 力を同時には打ち消せない。Hall 係数が磁場で符号を変え、抵抗が磁場で増える。補償された半金属では抵抗が $B^2$ で増え続ける

伝導度は足し、抵抗率は逆行列で

電子（密度 $n_{\mathrm e}$、移動度 $\mu_{\mathrm e}$）と正孔（$n_{\mathrm h}$、$\mu_{\mathrm h}$）が同時にいる場合を考える。半金属や、2つのバンドが Fermi 準位を横切る金属で起きることである。2つの集団は同じ電場の中を独立に流れるので、伝導度テンソルは (4.4.8) の形のものを2つ足したものになる（正孔は非対角の符号が逆）。Hall の配置で測る量は、その和の逆行列から出る。計算すると

$$\begin{align*}\rho_{xx}(B)&=\frac{(n_{\mathrm e}\mu_{\mathrm e}+n_{\mathrm h}\mu_{\mathrm h})+(n_{\mathrm e}\mu_{\mathrm h}+n_{\mathrm h}\mu_{\mathrm e})\mu_{\mathrm e}\mu_{\mathrm h}B^2} {e\bigl[(n_{\mathrm e}\mu_{\mathrm e}+n_{\mathrm h}\mu_{\mathrm h})^2+\mu_{\mathrm e}^2\mu_{\mathrm h}^2B^2(n_{\mathrm h}-n_{\mathrm e})^2\bigr]},\tag{4.4.13}\\R_{\mathrm H}(B)&=\frac{(n_{\mathrm h}\mu_{\mathrm h}^2-n_{\mathrm e}\mu_{\mathrm e}^2)+\mu_{\mathrm e}^2\mu_{\mathrm h}^2B^2(n_{\mathrm h}-n_{\mathrm e})} {e\bigl[(n_{\mathrm e}\mu_{\mathrm e}+n_{\mathrm h}\mu_{\mathrm h})^2+\mu_{\mathrm e}^2\mu_{\mathrm h}^2B^2(n_{\mathrm h}-n_{\mathrm e})^2\bigr]}\tag{4.4.14}\end{align*}$$

を得る。$n_{\mathrm h}=0$ と置けば、$\rho_{xx}=1/(n_{\mathrm e}e\mu_{\mathrm e})$、$R_{\mathrm H}=-1/(n_{\mathrm e}e)$ に戻る。

2つの極限を見ると、Hall 係数が何を測っているかがはっきりする。弱い磁場では

$$R_{\mathrm H}(0)=\frac{n_{\mathrm h}\mu_{\mathrm h}^2-n_{\mathrm e}\mu_{\mathrm e}^2}{e(n_{\mathrm e}\mu_{\mathrm e}+n_{\mathrm h}\mu_{\mathrm h})^2},\qquad R_{\mathrm H}(\infty)=\frac{1}{(n_{\mathrm h}-n_{\mathrm e})e}\tag{4.4.15}$$

である。弱い磁場の $R_{\mathrm H}$ は移動度の2乗の重みの付いた平均で、移動度の大きい方のキャリアの符号が現れやすい。強い磁場の $R_{\mathrm H}$ は移動度によらず、正味の電荷の密度 $n_{\mathrm h}-n_{\mathrm e}$ だけを測る。強い磁場では、どのキャリアも散乱される前に何周も回り、電流を運ぶのは軌道の中心の漂流（$\bm{E}\times\bm{B}$ の向き、速さ $E/B$）だけになる。漂流の速度は電荷にも質量にもよらないので、電荷の総量だけが効果を持つ。第2部第7章で見た「Fermi 面のどの部分が正孔のように振る舞うか」は、強い磁場の $R_{\mathrm H}$ がいちばん素直に測る。

磁気抵抗

1種類のキャリアでは $\rho_{xx}$ が変わらなかったのは、Hall 電場が全員の Lorentz 力を同時に打ち消せたからである。2種類あると、電子と正孔は逆向きに曲がり、しかも移動度が違うので、1つの Hall 電場では両方を打ち消せない。打ち消されずに残った曲がりが、電流の向きに沿った速度を減らし、抵抗を増やす。(4.4.13) を $B$ について展開すると、$\sigma_{\mathrm e}=n_{\mathrm e}e\mu_{\mathrm e}$、$\sigma_{\mathrm h}=n_{\mathrm h}e\mu_{\mathrm h}$ として

$$\frac{\Delta\rho_{xx}}{\rho_{xx}(0)}\approx\frac{\sigma_{\mathrm e}\sigma_{\mathrm h}(\mu_{\mathrm e}+\mu_{\mathrm h})^2}{(\sigma_{\mathrm e}+\sigma_{\mathrm h})^2}B^2\tag{4.4.16}$$

である。電子と正孔が同じ数ある補償された半金属（$n_{\mathrm e}=n_{\mathrm h}=n$）では、分母の $B^2$ の項が消えて

$$\rho_{xx}(B)=\frac{1+\mu_{\mathrm e}\mu_{\mathrm h}B^2}{ne(\mu_{\mathrm e}+\mu_{\mathrm h})},\qquad R_{\mathrm H}=\frac{\mu_{\mathrm h}-\mu_{\mathrm e}}{ne(\mu_{\mathrm e}+\mu_{\mathrm h})}\tag{4.4.17}$$

となる。抵抗は飽和せずに $B^2$ で増え続け、Hall 係数は磁場によらないが、その値から密度を読むと $n$ を誤る。補償された系では電荷の総量が $0$ で、強い磁場でも Hall 電場が漂流を止められないからである。Bi のような移動度の大きい半金属で、低温の抵抗が磁場で何桁も増えるのはこの機構による。