出てくるもの2：グラフェンの Berry 位相 $\pi$ と半整数の量子 Hall 効果

ハミルトニアンの選び方で固体を考える　第5部 第5章 §5.5.4　★★★ 質量 $0$ の Dirac コーンを1周すると Berry 位相は $\pi$ で、Onsager の量子化の位相のずれが消え、$\varepsilon =0$ に Landau 準位が1つ残る。この準位を電子と正孔で半分ずつ分けるので、Hall 伝導度は $4(N+\frac12)e^2/h$ の半整数の並びになる

Dirac 点のまわりの Berry 位相

Haldane 模型で $\Delta=0$、$t_2=0$ とすると、質量 $0$ のグラフェンに戻る。このとき Berry 曲率は Dirac 点に集中した $\delta$ 関数になる。例題 5.5.1 の質量 $m$ を $0$ に近づけると、$\Omega_-$ は幅 $\lvert m\rvert /(\hbar v)$ の領域に集まり、流束は $\pm\pi$ のまま変わらない。したがって K のまわりの閉じた等エネルギー線を1周する Berry 位相は $\pm\pi$ である。$\pi$ と $-\pi$ は位相としては同じなので、質量を正に取っても負に取っても、円を1周すると固有ベクトルの符号が反転する。これは擬スピンが $\bm{q}$ の向きに沿って $xy$ 平面の中で1回転し、スピン $\frac12$ を $2\pi$ 回すと $-1$ 倍になるのと同じ事情である。

Landau 準位

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第4部第11章で、Berry 位相 $\Gamma_n$ を持つ軌道の Onsager の量子化が$\mathcal A_\nu=\frac{2\pi eB}{\hbar}\bigl(\nu+\frac12-\frac{\Gamma_n}{2\pi}\bigr)$ になることを見た。$\mathcal A_\nu$ は $\bm{k}$ 空間の軌道が囲む面積で、$\nu=0,1,2,\dots$ である。質量 $0$ の Dirac コーンでは $\Gamma_n=\pm\pi$ なので、位相のずれ $\frac12-\frac{\Gamma_n}{2\pi}$ は $0$（または $1$。$\nu$ の付け替えで同じ）になる。半径 $q$ の円の面積 $\pi q^2$ と $\varepsilon =\hbar vq$ を入れると

$$\varepsilon _\nu=\operatorname{sgn}(\nu)\sqrt{2e\hbar v^2B\lvert \nu\rvert },\qquad\nu=0,\pm1,\pm2,\dots\tag{5.5.12}$$

を得る（$\nu<0$ は下のコーンの準位）。解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第4部第11章は上のコーンだけを書いたが、下のコーンでも同じ量子化が成り立つ。式 (5.5.12) は Dirac 方程式の Landau 準位を厳密に解いた結果と一致する（verify_ch5-05.py で調和振動子の基底の行列を対角化して確かめた）。普通の放物線のバンドの Landau 準位 $\hbar\omega_{\mathrm c}(\nu+\frac12)$ との違いは2つある。1つは間隔が等しくなく $\sqrt{\lvert \nu\rvert B}$ に比例すること、もう1つは $\varepsilon =0$ にちょうど1つの準位（$\nu=0$）があることである。

1つの準位に入る状態の数は、面積あたり $eB/h$ にスピンの2と谷の2を掛けた $4eB/h$ である。$\nu=0$ の準位は上のコーンと下のコーンの境目にあり、電子と正孔が入れ替わる対称性（$\varepsilon \to-\varepsilon$）から、電荷を中性にしたとき半分だけ満たされている。

半整数の Hall 伝導度

電荷が中性の点から測った電子の面密度を $n_{\mathrm e}$ とする。Fermi 準位が $\nu=N$ と $N+1$ の準位の間（$N\ge0$）にあるとき、$\nu=0$ の準位の半分と、$\nu=1,\dots,N$ の準位が中性の点から足された分なので

$$n_{\mathrm e}=\frac{4eB}{h}\Bigl(N+\frac12\Bigr)$$

である。解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第4部第11章の Středa の式 $\sigma_{xy}=-e(\partial n_{\mathrm e}/\partial B)_\mu$ を当てると

$$\sigma_{xy}=-\frac{4e^2}{h}\Bigl(N+\frac12\Bigr)=-\frac{e^2}{h}\times2,\ 6,\ 10,\ \dots\tag{5.5.13}$$

となる。正孔の側（$n_{\mathrm e}<0$）では符号が逆の $+2,+6,\dots$ になる。2次元の電子気体の量子 Hall 効果が $\nu e^2/h$（$\nu$ は整数）であるのに対し、グラフェンでは $e^2/h$ の単位で $4$ ずつ、半分ずれた並びになる（図 5.5.3）。

この「半分」は谷ごとの Chern 数で読むことができる。磁場の中の Landau 準位はそれぞれ Chern 数 $1$ のバンドで、普通の電子気体では満ちた準位の数がそのまま Chern 数の和になる。グラフェンの1つの Dirac コーンは、例題 5.5.1 で見たように、それ自体が $\pm\frac12$ の Chern 数を持つ（質量を $0$ に近づけた極限で）。1つの谷、1つのスピンあたりの Hall 伝導度は、$\nu=0$ の準位が空のとき $+\frac12\,e^2/h$、満ちたとき $-\frac12\,e^2/h$ で、そこから上の準位を1つ満たすごとに $-e^2/h$ ずつ変わる。スピンと谷の4倍で式 (5.5.13) になる。Haldane 模型では、磁場の代わりに $t_2\sin\phi$ によって2つの谷の質量の符号が逆になり、谷ごとの $\frac12$ が足し合って磁場なしで $1$ になった。どちらも、Dirac コーン1つが持つ半整数が見えている。

半整数の並びは 2005 年に2つのグループが独立に測った（K. S. Novoselov et al. (2005), Nature 438, 197；Y. Zhang, Y.-W. Tan, H. L. Stormer and P. Kim (2005), Nature 438, 201）。$\nu=1$ の準位と $\nu=0$ の準位の間隔は普通の半導体の Landau 準位の間隔より大きく、グラフェンでは室温でも量子 Hall 効果が見えることが報告されている（K. S. Novoselov et al. (2007), Science 315, 1379）。