何を削ったか・何の実験の量で確かめるか

ハミルトニアンの選び方で固体を考える　第5部 第5章 §5.5.5　★★★ 削ったのはスピンとスピン軌道結合・乱れによる散乱・電子どうしの相互作用で、さらに局在した軌道で $\hat H$ を書くこと自体が Chern 数 $0$ を前提にしている。強磁性金属の異常 Hall 伝導度の大きさと $\sigma_{xx}$ との関係、磁場なしで $h/e^2$ になる Hall 抵抗で確かめる

削ったもの

1つめはスピンである。式 (5.5.8) はスピンを持たない電子の模型で、時間反転を破る位相 $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi}$ を手で入れた。実際の物質では、磁性（電子のスピンがそろうこと）と、スピンの向きを軌道の運動に伝えるスピン軌道結合の組が時間反転を破る。強磁性体の異常 Hall 効果はこの組による。スピン軌道結合だけで磁性が無い場合は、上向きのスピンが $\phi$、下向きのスピンが $-\phi$ の Haldane 模型を感じる形になり、2つの Chern 数が打ち消し合って $\sigma_{xy}=0$ になる。それでも端には逆向きに進む2つのスピンの状態が残る。これが Kane–Mele 模型の考え方で、同じ仕組み（量子スピン Hall 絶縁体と $\mathbb{Z}_2$）を第5部第6章で QWZ 模型を使って扱う。

2つめは乱れによる散乱である。式 (5.5.3) は平衡分布 $f_0$ について異常速度を足したもので、散乱は入っていない。絶縁体（Fermi 準位がギャップの中）では、乱れはバンドの状態を局在させるだけで、ギャップの中に Fermi 準位がある限り量子化は保たれる。金属では、不純物の散乱が異常 Hall 効果に2つの寄与を加える。1つは skew 散乱で、スピン軌道結合のある不純物が電子を左右非対称に散乱する。散乱の非対称は緩和時間 $\tau$ の間に積み上がるので、寄与は $\sigma_{xy}\propto\tau\propto\sigma_{xx}$ になる（J. Smit (1955), Physica 21, 877）。もう1つは side jump で、散乱の瞬間に波束の中心が横に一定の距離だけずれる。1回のずれの大きさは $\tau$ によらず、ずれる頻度が $1/\tau$ なので、寄与は内因的な部分と同じく $\tau$ によらない（L. Berger (1970), Phys. Rev. B 2, 4559）。これらは 第4部第2章の Boltzmann 方程式の衝突の項に Berry 位相を入れて出す量で、この章の半古典の式 (5.5.2) だけからは出ない。

3つめは電子どうしの相互作用である。Chern 数は相互作用の無い1電子のバンドで定義した。相互作用があっても、多電子の基底状態がギャップで隔たっている限り、Hall 伝導度は $e^2/h$ の整数倍のままであることが証明されている（M. B. Hastings and S. Michalakis (2015), Communications in Mathematical Physics 334, 433）。ただし、相互作用が強いと分数の値（分数量子 Hall 効果）を取る状態も現れ、そこでは1電子のバンドの Chern 数は使えない。

4つめは、この巻の作り方そのものに関わる。この巻は第2部以来、原子に局在した軌道を基底に選んで $\hat H$ を書いてきた（tight-binding）。バンドの状態を逆に局在した軌道の重ね合わせで書き直したものが Wannier 関数で、各格子点に指数関数的に局在した Wannier 関数を選べることが、tight-binding の模型でバンドを表す前提になっている。ところが、Chern 数が $0$ でないバンドでは、指数関数的に局在した Wannier 関数は選べない。Chern 数が $0$ でないことは、$u_{n\bm{k}}$ の位相を Brillouin 域全体で滑らかに選べないことと同じで（解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第4部第11章の整数性の証明の筋）、滑らかな位相が選べなければ、Fourier 変換で作る Wannier 関数はゆっくりとしか減衰しない。Haldane 模型は局在した軌道から組んだ模型だが、2本のバンドを合わせると Chern 数は $C_-+C_+=0$ で、2本まとめてなら局在した基底（もとの $2p_z$ 軌道）がある。1本だけを取り出して局在した軌道の模型に書き直すことはできない。

何の実験の量で確かめるか

強磁性金属の異常 Hall 効果では、Hall 抵抗率が $\rho_{yx}=R_0B+R_{\mathrm s}\mu_0M$ の形に整理される（$M$ は磁化の大きさ、$R_0$ は普通の Hall 係数、$R_{\mathrm s}$ は異常 Hall 係数）。磁化が飽和した後の $\rho_{yx}$ を磁場に対して描くと、傾きから $R_0$ が、$B=0$ への外挿の切片から異常 Hall 抵抗率 $\rho_{\mathrm{AH}}=R_{\mathrm s}\mu_0M$ が求まる。理論の式 (5.5.3) は伝導度で書かれているので、伝導度の行列の逆を取って $\lvert \sigma_{\mathrm{AH}}\rvert \approx\rho_{\mathrm{AH}}/\rho_{xx}^2$ に直してから比べる（$\rho_{\mathrm{AH}}\ll\rho_{xx}$ のとき）。Nagaosa らは多くの物質の測定をまとめ、$\sigma_{xx}$ の大きさで3つの領域に分かれることを示した（N. Nagaosa, J. Sinova, S. Onoda, A. H. MacDonald and N. P. Ong (2010), Rev. Mod. Phys. 82, 1539）。$\sigma_{xx}\gtrsim10^6\,(\Omega\,\mathrm{cm})^{-1}$ の純度の高い領域では skew 散乱が主で $\sigma_{\mathrm{AH}}\propto\sigma_{xx}$、$10^4$〜$10^6\,(\Omega\,\mathrm{cm})^{-1}$ の領域では $\sigma_{\mathrm{AH}}$ が $\sigma_{xx}$ によらずほぼ一定、$10^4\,(\Omega\,\mathrm{cm})^{-1}$ より小さい領域では $\sigma_{\mathrm{AH}}\propto\sigma_{xx}^{1.6\text{〜}1.8}$ で減る（図 5.5.4）。真ん中の領域が内因的な部分（と side jump）の領域で、そこの $\sigma_{\mathrm{AH}}$ の大きさを Berry 曲率の計算と比べる。

図 5.5.4　異常 Hall 伝導度と縦の伝導度の関係の模式図。Nagaosa らの総説がまとめた3つの領域の傾き（$1.6$、$0$、$1$）を、真ん中の領域の高さを $10^3\,(\Omega\,\mathrm{cm})^{-1}$ として描いた。高さと領域の境目は物質によって違う。赤い点は例題 5.5.5 の鉄の値である。

量子異常 Hall 効果は、Haldane 模型が予言した「磁場なしの整数の Hall 伝導度」の測定である。Chang らは磁性元素 Cr を加えたトポロジカル絶縁体 (Bi,Sb)$_2$Te$_3$ の薄膜で、外部磁場 $0$、約 $30\,\mathrm{mK}$ において、ゲート電圧で Fermi 準位をギャップに合わせると $\rho_{yx}$ が $h/e^2$ になり、同時に $\rho_{xx}$ が大きく下がることを報告した（C.-Z. Chang et al. (2013), Science 340, 167）。$\rho_{xx}$ が下がる理由は、5.5.3節のカイラルな端の状態だけが電流を運び、後ろへの散乱が無いことである。Haldane 模型の形そのもの（蜂の巣格子と複素数の第2近接の飛び移り）は、冷却原子の光格子を周期的に揺することで作られ、Berry 曲率の効果が観測された（G. Jotzu et al. (2014), Nature 515, 237）。