授業で習った形との対応

ハミルトニアンの選び方で固体を考える　第5部 第5章 §5.5.6　★★ 普通の Hall 効果・異常 Hall 効果・量子 Hall 効果・量子異常 Hall 効果を、時間反転を何が破るかと Chern 数の言葉で1つの表にまとめる

普通の Hall 効果

授業では Drude 模型の運動方程式 $m^*\dot{\bm{v}}=-e(\bm{E}+\bm{v}\times\bm{B})-m^*\bm{v}/\tau$ の定常解から、Hall 係数 $R_{\mathrm H}=\rho_{yx}/B=-1/(n e)$（電子の場合）を出す。$\omega_{\mathrm c}\tau\gg1$ では $\sigma_{xy}=-ne/B$ である。この章の言葉では、これは Berry 曲率を含まない半古典運動（式 (5.5.2) で $\bm{\Omega}_n=0$）に、外から加えた磁場が時間反転を破った結果である。$\rho_{yx}$ は磁場に比例し、測った傾きからキャリアの密度と符号が決まる。

異常 Hall 効果

強磁性体の Hall 抵抗率は、授業や実験の教科書で経験式 $\rho_{yx}=R_0B+R_{\mathrm s}\mu_0M$ として習う。第2項がこの章の異常 Hall 効果で、ここでは外の磁場でなく試料の磁化が時間反転を破る。磁化はスピン軌道結合を通して $u_{n\bm{k}}$ の形を変え、Berry 曲率を $0$ でなくする。第2項を伝導度に直したものの内因的な部分が式 (5.5.3) で、その大きさは Fermi 準位より下の状態の Berry 曲率の積分で決まる。経験式の $R_{\mathrm s}$ は、伝導度に直すと $\sigma_{\mathrm{AH}}\approx R_{\mathrm s}\mu_0M/\rho_{xx}^2$ なので、内因的な領域では $R_{\mathrm s}\propto\rho_{xx}^2$、skew 散乱が主の領域では $R_{\mathrm s}\propto\rho_{xx}$ になる。この2つの冪が、実験で $R_{\mathrm s}$ を $\rho_{xx}$ に対して描いて機構を区別するときの目印である。

量子 Hall 効果と量子異常 Hall 効果

授業の整数量子 Hall 効果は、Landau 準位を $\nu$ 本満たしたときの $\sigma_{xy}=-\nu e^2/h$ で、外の磁場が時間反転を破る。この章の式 (5.5.4) の言葉では、Landau 準位はそれぞれ Chern 数 $1$ のバンドで、$\nu$ は満ちたバンドの Chern 数の和である。グラフェンでは Dirac コーンの Berry 位相 $\pi$ のために、和が $4(N+\frac12)$ になる。量子異常 Hall 効果は、磁場の代わりに磁化（模型では $t_2\sin\phi$）が時間反転を破り、ゼロ磁場のバンドそのものが Chern 数を持つ場合である。4つを並べると次のようになる。

異常 Hall 効果と量子異常 Hall 効果の違いは、Fermi 準位がバンドの中にあるかギャップの中にあるかだけである。金属では Fermi 面で積分が途中で切れるので、Chern 数の一部分だけが現れて整数にならない。