この章のまとめ

(1) $6\sqrt3\,t_2=0.208t$ なので $\Delta_{\mathrm K}=0.1t+0.208t=0.308t=0.862\,\mathrm{eV}$、$\Delta_{\mathrm K'}=0.1t-0.208t=-0.108t=-0.302\,\mathrm{eV}$ である。符号が逆なので $C_-=\frac12(1-(-1))=1$。$\phi=\pi/2$ では $g_0=0$ なので、ギャップは小さいほうの $\lvert \Delta_{\mathrm K'}\rvert =0.302\,\mathrm{eV}$ である（格子の模型を数値で走査しても同じ）。

(2) $\hbar v=\sqrt3ta/2=0.597\,\mathrm{eV\,nm}$ である。K の谷は例題 5.5.1 (1) の形で $m=\Delta_{\mathrm K}/2$ なので $\Omega_-(\mathrm K)=\hbar^2v^2/(2m^2)=2(\hbar v)^2/\Delta_{\mathrm K}^2=0.958\,\mathrm{nm^2}$。K$'$ の谷は $k_x$ の向きが逆なので $\Omega_-=-\hbar^2v^2m'/(2\lvert m'\rvert ^3)$（$m'=\Delta_{\mathrm K'}/2<0$）で、$\Omega_-(\mathrm K')=+2(\hbar v)^2/\Delta_{\mathrm K'}^2=7.80\,\mathrm{nm^2}$ である。どちらも正で、流束はそれぞれ $+\pi$、合わせて $2\pi$、つまり $C_-=1$ になる。質量の小さい K$'$ の谷のほうが値が $8$ 倍大きく、幅 $\lvert \Delta_{\mathrm K'}\rvert /(2\hbar v)$ の狭い領域に集まっている。格子の模型で Berry 曲率を数値で求めても、K と K$'$ での値はこの2つと一致する。

(3) $C_-=1$ なので、バルクと端の対応から各端に1本ずつ、反対向きに進むカイラルな端の状態がある。$\Delta_{\mathrm K'}=\Delta-6\sqrt3\,t_2$ が $0$ を横切る $\Delta=6\sqrt3\,t_2=0.208t=0.582\,\mathrm{eV}$ より大きくすると $C_-=0$ になり、ギャップを横切る端の状態は無くなる。SSH 模型で $t_1<t_2$ から $t_1>t_2$ へ移ると巻き数が変わり端の準位が消えたのと同じく、内部のギャップが一度閉じない限り端の状態の本数は変わらない。

(4) 1層あたり $\sigma_{xy}=-e^2/h$ で、厚さ方向に単位長さあたり $1/a_\perp$ 枚あるので、3次元の伝導度は $\lvert \sigma\rvert =e^2/(ha_\perp)=3.874\times10^{-5}/(0.335\times10^{-9})=1.16\times10^5\,\mathrm{S/m}=1.16\times10^3\,(\Omega\,\mathrm{cm})^{-1}$ である。鉄の $1.03\times10^3\,(\Omega\,\mathrm{cm})^{-1}$ と同じ桁で、鉄の異常 Hall 伝導度が「層1枚あたり Chern 数1の程度」という見積もりの大きさであることが、ここからも分かる。ただし鉄は金属で値は連続に変わり、積み重ねた Chern 絶縁体の値は層の間隔だけで決まって量子化されている点が異なる。

(5) Středa の式 $\sigma_{xy}=-e(\partial n_{\mathrm e}/\partial B)_\mu$ に $\sigma_{xy}=-e^2/h$ を入れると $(\partial n_{\mathrm e}/\partial B)_\mu=e/h$ で、$\Delta n_{\mathrm e}=eB/h=2.42\times10^{15}\,\mathrm{m^{-2}}$ である。単位胞の面積 $\sqrt3a^2/2=5.24\times10^{-20}\,\mathrm{m^2}$ を掛けると、単位胞あたり $1.27\times10^{-4}$ 個の電子が加わる。ギャップの中に Fermi 準位がありながら電子の数が磁場で変わるのは、Chern 数が $0$ でないバンドに固有の性質である（$C=0$ なら変わらない）。グラフェンの Landau 準位1つ分 $4eB/h$ と比べると $\frac14$ で、スピンと谷の縮退が無い1つのバンドが Landau 準位1本分の Chern 数を持っていることに対応する。（検算 scripts/verify_ch5-05.py）