何を削ったか

ハミルトニアンの選び方で固体を考える　第4部 第9章 §4.9.5　★★ 有効質量のバンド・平均の場の静電ポテンシャル・空乏近似・緩やかなチャネル・一定の移動度の5つを使った。三角形の井戸の量子化は、局所の Boltzmann 因子の近似を反転層で直したもので、しきい値を数十 mV ずらす

この章の計算は、選んだ $\hat H$ (4.9.1) と Poisson 方程式 (4.9.2) の自己無撞着の問題を、さらにいくつかの近似で簡単にしたものである。削ったものを順に並べる。

有効質量のバンド。式 (4.9.1) は、結晶の周期ポテンシャルを伝導帯の底の放物線に置き換え、外のポテンシャルが格子間隔よりゆっくり変わるとした。空乏層の電位（$0.1\,\mathrm{\mu m}$ の長さで変わる）はこの前提を満たすが、反転層の三角形の井戸の幅（$\langle x \rangle _1=2\,\mathrm{nm}$）は Si の格子定数 $0.543\,\mathrm{nm}$ の4倍ほどしかない。しかも $x=0$ の酸化膜との境目は原子1層の幅で変わる急な壁で、ゆっくり変わる外場ではない。サブバンドの準位の値は、谷の質量と壁の条件 $\zeta(0)=0$ を通してこの近似に依存する。

平均の場の静電ポテンシャル。式 (4.9.2) は、電子・正孔・イオンの電荷を連続な密度に均し、電子が感じるポテンシャルをその平均で決めた（Hartree の近似）。削ったのは、電子どうしの交換と相関、そして個々のアクセプターの位置で揺らぐ電位である。例題 4.9.1 で見たとおり、$\lambda_{\mathrm D}$ の立方体にはアクセプターが1個も入らないことが多い。ゲートの寸法がアクセプターの間隔に近づくと、ゲートの下に入るアクセプターの数が素子ごとに揺らぎ、しきい値電圧がばらつく。この揺らぎは、均した電荷の式 (4.9.10) の外にある。また、式 (4.9.3) は局所の電位で決まる Boltzmann 因子を使ったので、電子が縮退する強い反転（例題 4.9.7 の $\mu-\varepsilon _1=13.6\,\mathrm{meV}$ は $k_{\mathrm B} T$ と同じ程度）や、電位の変化が電子の波長より速い反転層の中では、そのままでは使うことができない。反転層の中を正しく扱うには、4.9.4節の Schrödinger 方程式と Poisson 方程式を連立させて解く。

空乏近似。式 (4.9.9) は、空乏層の中の正孔を $0$、外を中性と分け、その間の遷移の幅を $0$ にした。厳密な第一積分 (4.9.7) と比べると、空乏の領域で$\lvert Q_{\mathrm s}\rvert /\lvert Q_{\mathrm s}\rvert _{\text{空乏近似}}\simeq\sqrt{1- k_{\mathrm B} T/(e\phi_{\mathrm s})}$ で、誤差は $k_{\mathrm B} T/(e\phi_{\mathrm s})$ の大きさである（例題 4.9.8）。これは、小さいパラメータ $\lambda_{\mathrm D}/x_{\mathrm d}$ の前の微分方程式で、内側（空乏層）と外側（中性のバルク）の解を薄い遷移層でつなぐ構造で、境界層の問題と同じ形をしている。

緩やかなチャネルと一定の移動度。式 (4.9.11) は、2次元の Poisson 方程式（縦の $x$ とチャネルに沿った $y$）を、各 $y$ での1次元の問題に分けた。$y$ 方向の電位の変化が $x$ 方向よりずっとゆっくりなら正しいが、ピンチオフの点の近くでは $Q_{\mathrm n}\to0$ で電位が $y$ 方向に急に変わり、前提が破れる。飽和の先で電流が一定とした議論は、この破れた所を空乏層として別に扱ったものである。実際の素子では、ピンチオフの点が $V_{\mathrm D}$ とともにソースへ寄ってチャネルが短くなり、飽和の電流が少し増える（チャネル長の変調）。電流の式では、移動度 $\mu_{\mathrm e}$ を電場によらない定数とした（第4部第2章の緩和時間近似）。チャネルに沿った電場が強いと電子の速さは飽和し、表面に垂直な強い電場は界面での散乱を増やして移動度を下げる。

量子化によるしきい値のずれ。4.9.2節のしきい値は、表面の伝導帯の底で電子の数が $N_{\mathrm A}$ になる条件から決めた。三角形の井戸に閉じ込められた電子は、伝導帯の底より $\varepsilon _1$ だけ上にしか入れないので、同じ数の電子を集めるにはバンドを $\varepsilon _1/e$ ほど余計に曲げる必要がある。これは局所の Boltzmann 因子の近似を反転層で直したときに出る差である（例題 4.9.9）。