何の実験の量で確かめるか・授業で習った形との対応

ハミルトニアンの選び方で固体を考える　第4部 第9章 §4.9.6　★★ 容量とゲートの電圧の関係（$C$–$V$）で蓄積・空乏・反転を読み、電流の測定でしきい値と移動度とサブスレッショルド係数を読む。授業の素子の式は、この章の式の記号を変えたものである

容量とゲートの電圧

ゲートの直流の電圧に小さな交流の電圧を重ね、流れる交流の電流から容量 $C=\mathrm{d}(-Q_{\mathrm s})/\mathrm{d} V_{\mathrm G}$ を測る。式 (4.9.6) を微分すると

$$\frac1C=\frac1{C_{\mathrm{ox}}}+\frac1{C_{\mathrm s}},\qquad C_{\mathrm s}=\Bigl|\frac{\mathrm{d} Q_{\mathrm s}}{\mathrm{d}\phi_{\mathrm s}}\Bigr|\tag{4.9.21}$$

で、酸化膜と半導体の2つのコンデンサーの直列になる。$C_{\mathrm s}$ は式 (4.9.8) を微分すれば求まる。蓄積と強い反転では $\lvert Q_{\mathrm s}\rvert$ が指数関数的に変わるので $C_{\mathrm s}\gg C_{\mathrm{ox}}$ で $C\to C_{\mathrm{ox}}$ になり、空乏では $C_{\mathrm s}=\varepsilon_0\varepsilon_{\mathrm{rs}}/x_{\mathrm d}$ が小さく $C$ が下がる。平坦帯では、式 (4.9.7) を $u$ の1次まで展開して $C_{\mathrm s}=\varepsilon_0\varepsilon_{\mathrm{rs}}/\lambda_{\mathrm D}$ である。

ただし、反転層の電子は p 型の基板にほとんどいない少数キャリアで、熱で電子と正孔の対が生成されるのを待たないと増減しない。交流の周波数が高いと反転層の電子の数は追随せず、空乏層の端の正孔だけが動く。すると強い反転でも $C_{\mathrm s}\simeq\varepsilon_0\varepsilon_{\mathrm{rs}}/x_{\mathrm{d,max}}$ のままで、容量は最小値 $C_{\mathrm{min}}$ にとどまる（図 4.9.4）。高い周波数の $C$–$V$ の曲線から、蓄積の値で $C_{\mathrm{ox}}$（すなわち $d_{\mathrm{ox}}$）、最小値で $x_{\mathrm{d,max}}$（すなわち $N_{\mathrm A}$）、曲線が平坦帯の容量を通る電圧で $V_{\mathrm{FB}}$ を読み取ることができる（例題 4.9.10）。

図 4.9.4　MOS 構造の容量とゲートの電圧（例題 4.9.2 の値）。点線は反転層の電子も交流に追随する低い周波数の曲線で、第一積分 (4.9.8) から厳密に計算した。実線は電子が追随しない高い周波数の曲線で、正孔とアクセプターの分だけの電荷の微分を使い、強い反転の先では空乏層の厚さを $\phi_{\mathrm s}=2\phi_{\mathrm B}$ の値に止めた近似である。2本は空乏までは一致する。

電流の測定と2次元電子系の測定

$V_{\mathrm D}$ を小さく（$0.05\,\mathrm V$ ほど）保って $I_{\mathrm D}$ を $V_{\mathrm G}$ に対して描くと、式 (4.9.12) の1次の項から直線が得られ、その傾き $\mu_{\mathrm e}C_{\mathrm{ox}}(w/L)V_{\mathrm D}$ から移動度、横軸との交点から $V_{\mathrm{th}}$ を読み取ることができる。同じ測定を対数の縦軸で描くと、しきい値の下で直線になり、その傾きの逆数が $S_{\mathrm{sw}}$ である。$S_{\mathrm{sw}}$ から式 (4.9.16) で $\eta$、したがって空乏層の容量 $C_{\mathrm d}$ が分かる。酸化膜と Si の界面に電子を捕まえる準位があると、その準位の電荷も $\phi_{\mathrm s}$ とともに変わり、$C_{\mathrm d}$ に並列の容量として $\eta$ を大きくする。そこで $S_{\mathrm{sw}}$ は界面の質の目安にもなる。

2次元電子系としての反転層は、低温で強い磁場をかけた伝導の測定で確かめられた。A. B. Fowler, F. F. Fang, W. E. Howard, P. J. Stiles (1966), Phys. Rev. Lett. 16, 901 は、Si の反転層の伝導度がゲートの電圧に対して振動することを測り、振動の周期が表面に垂直な磁場の成分だけで決まることから、電子が面内だけを動くことを示した。振動の周期は、式 (4.9.20) の $\Delta V_{\mathrm G}=e^2B/(hC_{\mathrm{ox}})$ をスピンと谷の縮退の分だけまとめた間隔になる。この測定を Hall 抵抗まで進めたのが、4.9.4節の von Klitzing らの量子 Hall 効果である。

授業で習った形との対応

学部の半導体デバイスの授業では、この章の式を次の記号で書くことが多い。電気素量を $q$、表面の電位を $\psi_{\mathrm s}$、バルクの Fermi 準位の位置を $\psi_{\mathrm B}$（この章の $\phi_{\mathrm B}$）、Si の誘電率を $\varepsilon_{\mathrm s}$（この章の $\varepsilon_0\varepsilon_{\mathrm{rs}}$）と書いて、

$$V_{\mathrm T}=V_{\mathrm{FB}}+2\psi_{\mathrm B}+\frac{\sqrt{4\varepsilon_{\mathrm s}qN_{\mathrm A}\psi_{\mathrm B}}}{C_{\mathrm{ox}}},\qquad I_{\mathrm D}=\mu_nC_{\mathrm{ox}}\frac{W}{L}\Bigl[(V_{\mathrm G}-V_{\mathrm T})V_{\mathrm D}-\frac{V_{\mathrm D}^2}{2}\Bigr],\qquad S=\ln10\,\frac{kT}{q}\Bigl(1+\frac{C_{\mathrm d}}{C_{\mathrm{ox}}}\Bigr)$$

とする。それぞれ式 (4.9.10)・(4.9.12)・(4.9.16) と同じである。この章で $V_{\mathrm{th}}$・$w$・$\mu_{\mathrm e}$ と書いたのは、温度 $T$・仕事 $W$・化学ポテンシャル $\mu$ と記号がぶつからないようにするためである。

授業では、反転の条件 $\psi_{\mathrm s}=2\psi_{\mathrm B}$ を「表面が基板と同じ程度に n 型になる」というバンド図の言葉で導入することが多い。この章では同じ条件を、第一積分 (4.9.7) の電子の項が $1$ になる所として出し、そこで厳密な電荷が空乏近似と一致すること、それを越えても $\phi_{\mathrm s}$ がほとんど動かないこと（例題 4.9.3）を確かめた。授業の $I_{\mathrm D}$ の導出は「チャネルの電荷 × ドリフト速度」と書くことが多く、拡散の電流は別に扱われる。この章では、擬 Fermi 準位の傾きで電流を書いたので、同じ式の中にドリフトと拡散が両方入っていて、しきい値の下で拡散が主になること（4.9.3節）も同じ枠の中で説明される。授業の式で $\mu_n$ を定数とし、チャネル長の変調を $(1+\lambda V_{\mathrm D})$ の因子で足す扱いは、4.9.5節の緩やかなチャネルと一定の移動度の札に当たる。