この章のまとめ

(1) 第20章の A と B の関係を媒質の中で書くと $A_{21}/B_{21}=\hbar\omega^3n^3/(\pi^2c^3)$、ビームのエネルギー密度は $nI/c$ なので、21.6 節のとおり $\sigma_{21}=\lambda_0^2A_{21}\mathcal S(\omega_0)/(4n^2)$ である。Lorentz 形の中心の高さ $\mathcal S(\omega_0)=2/(\pi\cdot2\pi\Delta\nu)$ を入れると、例題 21.6 と同じく

$$\sigma_{21}=\frac{\lambda_0^2A_{21}}{4\pi^2n^2\Delta\nu}=2.80\times10^{-23}\,\mathrm{m^2}$$

を得る。

(2) $T_2=1/(\pi\Delta\nu)=2.65\,\mathrm{ps}$ である。4準位の飽和強度 $I_{\mathrm{sat}}=\hbar\omega/(\sigma_{21}\tau_2)$ では誘導放出の割合が $W=\sigma_{21}I_{\mathrm{sat}}/\hbar\omega=1/\tau_2$ で、共鳴の $W=\Omega^2T_2/2$ と等しいとおくと $\Omega=\sqrt{2/(T_2\tau_2)}$、

$$\Omega T_2=\sqrt{\frac{2T_2}{\tau_2}}=1.52\times10^{-4}$$

である。$T_2/\tau_2=1.15\times10^{-8}$ とあわせて (21.13) は十分に成り立ち、コヒーレンスは Rabi 振動の1周期の $10^{-4}$ ほどの間に消える。$I_{\mathrm{sat}}$ の数十倍の光でもレート方程式で扱うことができる。

(3) ポンプの光子1個は $hc/(808\,\mathrm{nm})=2.46\times10^{-19}\,\mathrm J$ なので、$R_{\mathrm p}=(P/V)/(hc/\lambda_{\mathrm p})=4.07\times10^{26}\,\mathrm{m^{-3}\,s^{-1}}$ である。(21.25) で $\tau_1\to0$ として

$$\Delta N=R_{\mathrm p}\tau_2=9.36\times10^{22}\,\mathrm{m^{-3}}\quad(N\text{ の }0.067\,\%),\qquad G_0=\sigma_{21}\Delta N=2.62\,\mathrm{m^{-1}}$$

で、$G_0L=0.262$、弱い光は1回の通過で $\mathrm{e}^{0.262}=1.30$ 倍になる。反転は全体の $0.07$ パーセントにすぎないので、基底状態の減り（(21.26) の分母）は無視できる。

(4) 飽和強度は例題 21.5 と同じ $I_{\mathrm{sat}}=2.90\times10^{7}\,\mathrm{W\,m^{-2}}$ である。(21.28) で $x=I(L)/I_{\mathrm{sat}}$ と置くと $\ln x+x-1=0.262$ で、数値で解くと $x=1.135$ である。出口の強度は $1.135I_{\mathrm{sat}}=3.29\times10^{7}\,\mathrm{W\,m^{-2}}$、増幅率は $1.135$ で、弱い光の $1.30$ より小さい。媒質が光に渡した電力は単位面積あたり $(1.135-1)I_{\mathrm{sat}}=3.92\times10^{6}\,\mathrm{W\,m^{-2}}$（$392\,\mathrm{W\,cm^{-2}}$）である。上限は $G_0LI_{\mathrm{sat}}=\Delta N\,\hbar\omega L/\tau_2=7.59\times10^{6}\,\mathrm{W\,m^{-2}}$ で、入口が $I_{\mathrm{sat}}$ の光はその半分ほどを受け取る。残りは自然放出としてあらゆる向きに出ていく。入口の光を強くするほど、上限に近い電力を取り出すことができる。

(5) 3準位の (21.22) で $\Delta N/N=6.68\times10^{-4}$ を作るには $W_{\mathrm p}\tau_2=(1+\Delta N/N)/(1-\Delta N/N)=1.00134$ が要る。ポンプが準位1の原子 $N_1=N(1-\Delta N/N)/2$ を割合 $W_{\mathrm p}$ で上げるので、吸収させる電力は

$$\frac{P}{V}=W_{\mathrm p}N_1\frac{hc}{\lambda_{\mathrm p}}=7.49\times10^{10}\,\mathrm{W\,m^{-3}}$$

で、(3) の $749$ 倍である。この電力のほとんどは、原子の半分を準位2に保つ（反転を $0$ にする）ために自然放出で消える。同じ断面積と寿命の遷移でも、下の準位が空かどうかで必要なポンプが3桁違う。