出てくるもの（1）：2準位では反転できない・吸収の飽和

光学と量子エレクトロニクス　第21章 §21.3　★★★ 2準位の定常状態では、光をどれだけ強くしても $N_2/g_2$ は $N_1/g_1$ に下から近づくだけで超えない。光は吸収を弱めるだけで（飽和）、吸収係数は $\alpha_0/(1+I/I_{\mathrm{sat}})$ になる

定常状態は半分ずつに近づくだけ

縮退が無い場合（$g_1=g_2$）の (21.5) の定常解は、$N_1=N-N_2$ を使って

$$\Delta N\coloneqq N_2-N_1=-\frac{N}{1+I/I_{\mathrm{sat}}},\qquad I_{\mathrm{sat}}=\frac{\hbar\omega}{2\sigma_{21}\tau},\quad \tau=\frac{1}{A_{21}}\tag{21.15}$$

である。$\Delta N$ は占有の差（反転の量）で、$\Delta N>0$ が反転である。$I_{\mathrm{sat}}$ は飽和強度で、$I=I_{\mathrm{sat}}$ のとき光による遷移の割合 $\sigma_{21}\Phi$ が自然放出の割合 $A_{21}$ の半分になる。(21.14) の $s$ は $I/I_{\mathrm{sat}}$ と同じもので、例題 21.1 の (2) の向きのそろった原子では $I_{\mathrm{sat}}=\hbar\omega A_{21}/(2\sigma_0)=16.7\,\mathrm{W\,m^{-2}}$（$1.67\,\mathrm{mW\,cm^{-2}}$）である。

(21.15) の $\Delta N$ は、$I\to\infty$ で $0$ に下から近づき、正にならない。理由は式の形から読める。光による遷移は $\sigma_{21}\Phi(N_2-N_1)$ の形で入り、吸収と誘導放出の係数が同じなので、光は占有の差を $0$ に近づける向きにしか働かない。そこへ自然放出が一方向（上から下）にだけ働くので、定常の占有の差は必ず負に残る。上の準位に原子を上げる手段が、上の準位から原子を下ろす手段と同じ係数を持っている限り、反転を作ることはできない。これは熱放射（第20章の黒体）で照らしても、どんなに強いレーザーで照らしても同じである。

縮退がある場合も同じ結論になる。(21.5) は $N_2-(g_2/g_1)N_1$ に比例する光の項を持つので、強い光の極限で $N_2/g_2\to N_1/g_1$ に近づき、(21.7) の不等号は成り立たない。たとえば $g_1=1$, $g_2=3$ なら、強い光で上の準位の占有は全体の $3/4$ に近づき、$N_2>N_1$ にはなる。それでも (21.6) の利得係数は $0$ に近づくだけで、光は増幅されない。利得を決めるのは縮退度で割った占有だからである。

吸収の飽和

(21.15) を利得係数 (21.6) に入れると、2準位の媒質の吸収係数は

$$\alpha_{\mathrm{abs}}(I)=\frac{\alpha_0}{1+I/I_{\mathrm{sat}}},\qquad \alpha_0=\sigma_{21}N\tag{21.16}$$

になる。弱い光では $\alpha_0$ で吸収されるが、$I_{\mathrm{sat}}$ を超える光では上の準位が埋まって吸収が弱まる。これを吸収の飽和と呼ぶ。ビームが媒質を進むと強度が変わるので、(21.16) を $\mathrm{d} I/\mathrm{d} z=-\alpha_{\mathrm{abs}}(I)I$ に入れて積分する。変数を分けると

$$\ln\frac{I(L)}{I(0)}+\frac{I(L)-I(0)}{I_{\mathrm{sat}}}=-\alpha_0L\tag{21.17}$$

を得る。弱い光（$I\ll I_{\mathrm{sat}}$）では第2項が消えて Beer–Lambert の法則 $I(L)=I(0)\mathrm{e}^{-\alpha_0L}$ に戻り、強い光（$I\gg I_{\mathrm{sat}}$）では第1項が小さくなって $I(L)\approx I(0)-\alpha_0LI_{\mathrm{sat}}$ になる。強い光の極限で媒質が吸収するのは、単位面積あたり $\alpha_0LI_{\mathrm{sat}}=NL\cdot\hbar\omega A_{21}/2$ の一定の電力で、これは長さ $L$ の柱の中の原子の半分が自然放出で出す電力に等しい。飽和した媒質は、原子が光を吸収して自然放出で放出する繰り返しの速さで決まる電力しか吸収することができない。

図 21.2　2準位の媒質（縮退なし）の定常状態。光の強度を上げると、上の準位の占有 $N_2/N$ は $1/2$ に下から近づき、吸収係数 $\alpha_{\mathrm{abs}}/\alpha_0$ は $1/(1+I/I_{\mathrm{sat}})$ で $0$ に近づく。反転（$N_2/N>1/2$）にはならない。

吸収の飽和は、線の形にも現れる。均一な広がりの線で離調 $\Delta$ の光の吸収を考えると、$s=\Omega^2T_1T_2/(1+\Delta^2T_2^2)$ を使って $\alpha_{\mathrm{abs}}\propto\mathcal S/(1+s)\propto1/(1+\Delta^2T_2^2+\Omega^2T_1T_2)$ になり、吸収の線の幅は $\sqrt{1+\Omega^2T_1T_2}$ 倍に広がる（パワー広がり）。線の中心ほど強く飽和するので、山が削れて幅が広がる。不均一な広がりの線の飽和（スペクトルの一部だけが削れるホールバーニング）と、それを使う飽和吸収分光は第24章で扱う。