当てる道具：コヒーレンスの断熱消去

光学と量子エレクトロニクス　第21章 §21.2　★★★ 光 Bloch 方程式で横の成分（コヒーレンス）が $T_2$ で速く緩和するなら、それを占有の差の関数として消すことができ、遷移の割合 $W=\Omega^2T_2/[2(1+\Delta^2T_2^2)]$ のレート方程式が残る。定常状態では消す前と完全に一致する

光 Bloch 方程式を成分で書く

第18章（第18章）の回転波近似のあとの Hamiltonian は、回転座標で

$$\hat H=-\frac{\hbar\Delta}{2}\sigma_z-\frac{\hbar\Omega}{2}\sigma_x,\qquad \Delta=\omega_{\mathrm L}-\omega_0$$

である（この本の流儀。$\Delta$ はレーザーの角周波数 $\omega_{\mathrm L}$ から原子の $\omega_0$ を引いた離調で、$\Omega$ は位相を選んで実数にした Rabi 周波数）。密度行列の成分を基底 $(| e \rangle ,| g \rangle )$ で $\rho_{ee}$, $\rho_{gg}$, $\rho_{eg}=\rho_{ge}^*$ と書き、$\mathrm{i}\hbar\,\mathrm{d}\hat\rho/\mathrm{d} t=\left[\hat H,\,\hat\rho\right]$ に第19章の緩和の項を足すと、光 Bloch 方程式は

$$\begin{align*}\frac{\mathrm{d} \rho_{ee}}{\mathrm{d} t}&=\Omega\,\operatorname{Im}\rho_{eg}-\frac{\rho_{ee}}{T_1},\tag{21.8}\\\frac{\mathrm{d} \rho_{eg}}{\mathrm{d} t}&=\mathrm{i}\Delta\,\rho_{eg}-\frac{\mathrm{i}\Omega}{2}\,w-\frac{\rho_{eg}}{T_2},\qquad w\coloneqq\rho_{ee}-\rho_{gg}\tag{21.9}\end{align*}$$

になる。これは第19章の光 Bloch 方程式（式 (19.9)）を $u-\mathrm{i} v=2\rho_{eg}$、$w=\rho_{ee}-\rho_{gg}$ で密度行列の成分に書き直したものである。上の準位は割合 $1/T_1$ で下の準位へ戻り（自然放出だけなら $1/T_1=A_{21}$）、コヒーレンスは割合 $1/T_2$ で消える。$w$ は占有の差（Bloch ベクトルの $z$ 成分）で、$w>0$ が反転である。導出は交換子の成分を書き出すだけで、$(\hat H\hat\rho-\hat\rho\hat H)_{ee}=-\tfrac{\hbar\Omega}{2}(\rho_{ge}-\rho_{eg})$ から $\mathrm{d}\rho_{ee}/\mathrm{d} t=(\mathrm{i}\Omega/2)(\rho_{ge}-\rho_{eg})=\Omega\operatorname{Im}\rho_{eg}$ が出る（検算スクリプト）。

(21.8) の右辺の第1項が光による遷移である。占有が変わるのは、コヒーレンスの虚部があるときだけで、その虚部は (21.9) で占有の差 $w$ から作られる。光はまず原子にコヒーレンス（振動する双極子）を作り、そのコヒーレンスを通して占有を動かす。占有とコヒーレンスのあいだのこの往復が、第19章の Rabi 振動である。

速い変数を消す

$T_2$ が短く、コヒーレンスが占有よりずっと速く緩和する場合を考える。$w$ が $T_2$ の間ほとんど変わらないなら、(21.9) の解は時間 $T_2$ ほどで初期値を忘れ、その時々の $w$ で決まる値

$$\rho_{eg}\approx\frac{-\mathrm{i}\Omega w/2}{1/T_2-\mathrm{i}\Delta} =-\frac{\Omega w}{2}\,\frac{-\Delta+\mathrm{i}/T_2}{1/T_2^2+\Delta^2}\tag{21.10}$$

に追いつく。(21.9) の左辺を $0$ と置いて解いたもので、これを断熱消去と呼ぶ。虚部 $\operatorname{Im}\rho_{eg}=-(\Omega w/2)(1/T_2)/(1/T_2^2+\Delta^2)$ を (21.8) に入れ、$w=\rho_{ee}-\rho_{gg}$ に戻すと

$$\frac{\mathrm{d} \rho_{ee}}{\mathrm{d} t}=-W(\rho_{ee}-\rho_{gg})-\frac{\rho_{ee}}{T_1},\qquad W=\frac{\Omega^2T_2}{2(1+\Delta^2T_2^2)}\tag{21.11}$$

が残る。第19章の式 (19.24) で形だけ見せた式で、ここでは使える条件と誤差を調べる。これが2準位の原子1個のレート方程式で、(21.5) を原子1個あたりに書いたもの（$N_2/N\to\rho_{ee}$、$\sigma_{21}\Phi\to W$、$A_{21}\to1/T_1$、縮退なし）と同じ形である。$W$ は原子1個が単位時間に光で上がる（または下りる）割合で、離調 $\Delta$ の関数として半値の全幅 $2/T_2$ の Lorentz 形をしている。$W$ を $\Omega^2$ と線の形 (21.2) で書き直すと

$$W=\frac{\pi}{2}\,\Omega^2\,\mathcal S(\omega_{\mathrm L})\tag{21.12}$$

で、遷移の割合は「光の強さ（$\Omega^2\propto I$）」と「線の形の、光の角周波数での高さ」の積に分かれる。(21.3) の B 係数の形はこの分かれ方を表していた。双極子の向きがそろっている場合に $\Omega^2=\lvert \bm{d}_{eg}\rvert ^2E_0^2/\hbar^2$ と $I=c\varepsilon_0E_0^2/2$ を入れると、$W=\sigma_{21}\Phi$ の $\sigma_{21}$ は (21.4) の3倍になり、例題 21.1 の (2) と一致する。

断熱消去が使える条件は、速いほうの変数（コヒーレンス）の緩和の割合 $1/T_2$ が、遅いほうの変数（占有）が変わる割合より十分大きいことである。占有が変わる割合は (21.11) から $2W+1/T_1$ なので、条件は

$$T_2\Bigl(2W+\frac{1}{T_1}\Bigr)\ll1,\qquad\text{共鳴では}\quad \Omega T_2\ll1\ \text{かつ}\ T_2\ll T_1\tag{21.13}$$

にまとまる（共鳴では $2WT_2=(\Omega T_2)^2$）。$\Omega T_2\ll1$ は、コヒーレンスが Rabi 振動の1周期の間に消えることを言う。コヒーレンスが消えれば占有はもう往復できず、一方向に流れるだけになる。

定常状態では消す前と一致する

(21.11) の定常解は、$\rho_{gg}=1-\rho_{ee}$ を使って

$$\rho_{ee}=\frac{WT_1}{1+2WT_1}=\frac{s/2}{1+s},\qquad w=-\frac{1}{1+s},\qquad s\coloneqq2WT_1=\frac{\Omega^2T_1T_2}{1+\Delta^2T_2^2}\tag{21.14}$$

である。$s$ を飽和パラメータと呼ぶ。一方、光 Bloch 方程式 (21.8)・(21.9) の定常解は、両方の左辺を $0$ と置いて解くもので、(21.10) は近似でなく厳密に成り立つ。したがって定常状態の占有は、条件 (21.13) が成り立たなくても、(21.14) と完全に一致する（数値でも確かめた）。断熱消去で失うのは、定常に至るまでの途中の振る舞い（Rabi 振動）だけである。

図 21.1 は、2つの場合に光 Bloch 方程式を数値で解き、レート方程式の解と比べたものである。$\Omega T_2=0.2$ では両者はほぼ重なり、占有は単調に定常値へ向かう。$\Omega T_2=10$ では光 Bloch 方程式の解は Rabi 振動を示し、一時は $\rho_{ee}=0.79$ まで上がって反転する。レート方程式の解はこの振動を持たず、時間 $1/(2W+1/T_1)$ で定常値 $0.49$ に近づく。振動の山は $T_2$ ほどの時間で減衰し、どちらも同じ定常値に行き着く。