光学と量子エレクトロニクス 第21章 §21.5 ★★★ 光の遷移の下の準位が基底状態の上にあって速く空になるなら、どれだけ弱いポンプでも反転する。反転は R p τ 2 R_{\mathrm p}\tau_2 R p τ 2 G 0 / ( 1 + I / I s a t ) G_0/(1+I/I_{\mathrm{sat}}) G 0 / ( 1 + I / I sat ) ℏ ω / ( σ 21 τ 2 ) \hbar\omega/(\sigma_{21}\tau_2) ℏ ω / ( σ 21 τ 2 )
下の準位を空にしておく
3準位の媒質が重いポンプを要したのは、光の遷移の下の準位にはじめから原子が満ちていたからである。図 21.3 の右のように、光の遷移の下の準位1を基底状態0より上に置き、準位1から0へ速く（寿命 τ 1 \tau_1 τ 1 τ 2 \tau_2 τ 2 1 / τ 21 1/\tau_{21} 1/ τ 21 R p = W p N 0 R_{\mathrm p}=W_{\mathrm p}N_0 R p = W p N 0
d N 2 d t = R p − N 2 τ 2 , d N 1 d t = N 2 τ 21 − N 1 τ 1 (21.24) \frac{\mathrm{d} N_2}{\mathrm{d} t}=R_{\mathrm p}-\frac{N_2}{\tau_2},\qquad
\frac{\mathrm{d} N_1}{\mathrm{d} t}=\frac{N_2}{\tau_{21}}-\frac{N_1}{\tau_1}\tag{21.24} d t d N 2 = R p − τ 2 N 2 , d t d N 1 = τ 21 N 2 − τ 1 N 1 ( 21.24 )
である。定常解は N 2 = R p τ 2 N_2=R_{\mathrm p}\tau_2 N 2 = R p τ 2 N 1 = N 2 τ 1 / τ 21 N_1=N_2\tau_1/\tau_{21} N 1 = N 2 τ 1 / τ 21
Δ N = N 2 − N 1 = R p τ 2 ( 1 − τ 1 τ 21 ) (21.25) \Delta N=N_2-N_1=R_{\mathrm p}\tau_2\Bigl(1-\frac{\tau_1}{\tau_{21}}\Bigr)\tag{21.25} Δ N = N 2 − N 1 = R p τ 2 ( 1 − τ 21 τ 1 ) ( 21.25 )
になる。反転の条件は τ 1 < τ 21 \tau_1<\tau_{21} τ 1 < τ 21
基底状態の減りまで入れると、N 0 + N 2 = N N_0+N_2=N N 0 + N 2 = N N 2 = N W p τ 2 / ( 1 + W p τ 2 ) N_2=N\,W_{\mathrm p}\tau_2/(1+W_{\mathrm p}\tau_2) N 2 = N W p τ 2 / ( 1 + W p τ 2 ) τ 1 ≪ τ 21 \tau_1\ll\tau_{21} τ 1 ≪ τ 21
Δ N N = W p τ 2 1 + W p τ 2 (21.26) \frac{\Delta N}{N}=\frac{W_{\mathrm p}\tau_2}{1+W_{\mathrm p}\tau_2}\tag{21.26} N Δ N = 1 + W p τ 2 W p τ 2 ( 21.26 )
になる。3準位の (21.22) と並べると、分子の − 1 -1 − 1 21.4 ）。3準位の − 1 -1 − 1 21.5 ）。Nd3 + ^{3+} 3 + 1.064 μ m 1.064\,\mu\mathrm m 1.064 μ m 1 1 J. E. Geusic, H. M. Marcos and L. G. Van Uitert (1964), Applied Physics Letters 4, 182.
図 21.4 ポンプの割合と反転の割合（定常、光の遷移の光は無し）。3準位は x = 1 x=1 x = 1 x > 0 x>0 x > 0
利得の飽和
反転した媒質に、光の遷移の角周波数のビーム（強度 I I I τ 1 → 0 \tau_1\to0 τ 1 → 0 N 1 ≈ 0 N_1\approx0 N 1 ≈ 0
d N 2 d t = R p − N 2 τ 2 − σ 21 Φ N 2 \frac{\mathrm{d} N_2}{\mathrm{d} t}=R_{\mathrm p}-\frac{N_2}{\tau_2}-\sigma_{21}\Phi N_2 d t d N 2 = R p − τ 2 N 2 − σ 21 Φ N 2
となり、定常解は
Δ N = R p τ 2 1 + I / I s a t , G ( I ) = G 0 1 + I / I s a t , G 0 = σ 21 R p τ 2 , I s a t = ℏ ω σ 21 τ 2 (21.27) \Delta N=\frac{R_{\mathrm p}\tau_2}{1+I/I_{\mathrm{sat}}},\qquad
G(I)=\frac{G_0}{1+I/I_{\mathrm{sat}}},\qquad G_0=\sigma_{21}R_{\mathrm p}\tau_2,\qquad
I_{\mathrm{sat}}=\frac{\hbar\omega}{\sigma_{21}\tau_2}\tag{21.27} Δ N = 1 + I / I sat R p τ 2 , G ( I ) = 1 + I / I sat G 0 , G 0 = σ 21 R p τ 2 , I sat = σ 21 τ 2 ℏ ω ( 21.27 )
である。G 0 G_0 G 0 小信号利得係数 で、強い光は自分が増幅されることで反転を使い、利得を下げる。これを利得の飽和 と呼ぶ。4準位の I s a t I_{\mathrm{sat}} I sat (21.15) の2倍である。2準位では誘導放出で下りた原子が下の準位を埋めて吸収を増やすので、1回の遷移が占有の差を2だけ変える。4準位では下りた原子はすぐ準位1から抜けるので、占有の差は1しか変わらない。
ビームが長さ L L L (21.17) と同じ積分で
ln I ( L ) I ( 0 ) + I ( L ) − I ( 0 ) I s a t = G 0 L (21.28) \ln\frac{I(L)}{I(0)}+\frac{I(L)-I(0)}{I_{\mathrm{sat}}}=G_0L\tag{21.28} ln I ( 0 ) I ( L ) + I sat I ( L ) − I ( 0 ) = G 0 L ( 21.28 )
になる。弱い光は e G 0 L \mathrm{e}^{G_0L} e G 0 L I ( L ) − I ( 0 ) ≈ G 0 L I s a t I(L)-I(0)\approx G_0LI_{\mathrm{sat}} I ( L ) − I ( 0 ) ≈ G 0 L I sat G 0 L I s a t = Δ N ℏ ω L / τ 2 G_0LI_{\mathrm{sat}}=\Delta N\,\hbar\omega\,L/\tau_2 G 0 L I sat = Δ N ℏ ω L / τ 2 L L L τ 2 \tau_2 τ 2
例題 21.5 同じ反転を作るポンプの比 ★★
オリジナル
(1) 反転の割合 Δ N / N = 0.01 \Delta N/N=0.01 Δ N / N = 0.01 x = W p τ x=W_{\mathrm p}\tau x = W p τ (21.22) と4準位 (21.26) で求め、比を求めよ（寿命は等しいとする）。(2) Nd:YAG に似た模型で、誘導放出の断面積 σ 21 = 2.8 × 10 − 23 m 2 \sigma_{21}=2.8\times10^{-23}\,\mathrm{m^2} σ 21 = 2.8 × 1 0 − 23 m 2 τ 2 = 230 μ s \tau_2=230\,\mu\mathrm s τ 2 = 230 μ s 1064 n m 1064\,\mathrm{nm} 1064 nm σ 21 \sigma_{21} σ 21 (3) 例題 21.1 の原子の飽和強度と比べ、何桁違うか、その理由を述べよ。
解答 (1) 3準位は ( x − 1 ) / ( x + 1 ) = 0.01 (x-1)/(x+1)=0.01 ( x − 1 ) / ( x + 1 ) = 0.01 x = 1.0202 x=1.0202 x = 1.0202 x / ( 1 + x ) = 0.01 x/(1+x)=0.01 x / ( 1 + x ) = 0.01 x = 0.010101 x=0.010101 x = 0.010101 101 101 101
(2) 光子1個のエネルギーは ℏ ω = 1.867 × 10 − 19 J \hbar\omega=1.867\times10^{-19}\,\mathrm J ℏ ω = 1.867 × 1 0 − 19 J 1.165 e V 1.165\,\mathrm{eV} 1.165 eV
I s a t = ℏ ω σ 21 τ 2 = 1.867 × 10 − 19 2.8 × 10 − 23 × 2.3 × 10 − 4 = 2.90 × 10 7 W m − 2 = 2.90 k W c m − 2 I_{\mathrm{sat}}=\frac{\hbar\omega}{\sigma_{21}\tau_2}=\frac{1.867\times10^{-19}}{2.8\times10^{-23}\times2.3\times10^{-4}}=2.90\times10^{7}\,\mathrm{W\,m^{-2}}=2.90\,\mathrm{kW\,cm^{-2}} I sat = σ 21 τ 2 ℏ ω = 2.8 × 1 0 − 23 × 2.3 × 1 0 − 4 1.867 × 1 0 − 19 = 2.90 × 1 0 7 W m − 2 = 2.90 kW c m − 2
である。2準位なら ℏ ω / ( 2 σ 21 τ 2 ) = 1.45 k W c m − 2 \hbar\omega/(2\sigma_{21}\tau_2)=1.45\,\mathrm{kW\,cm^{-2}} ℏ ω / ( 2 σ 21 τ 2 ) = 1.45 kW c m − 2
(3) 例題 21.1 の原子では 1.67 m W c m − 2 1.67\,\mathrm{mW\,cm^{-2}} 1.67 mW c m − 2 1.7 × 10 6 1.7\times10^6 1.7 × 1 0 6 10 10 10^{10} 1 0 10 A 21 A_{21} A 21 10 4 10^4 1 0 4
1 J. E. Geusic, H. M. Marcos and L. G. Van Uitert (1964), Applied Physics Letters 4, 182.
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