何を近似したか・何の実験の量で確かめるか・授業で習った形との対応

光学と量子エレクトロニクス　第21章 §21.6　★★ 近似は2つの断熱消去（コヒーレンスと速い準位）と、均一な広がり・空間的に一様な強度の2つの仮定。測る量は蛍光の寿命・飽和強度・小信号利得・反転のしきい値。授業の周波数 $\nu$ の形と係数の $2\pi$ の違い

何を近似したか

コヒーレンスを消した。 21.2 節の断熱消去は、時間の尺度が分かれた2つの変数の組で、速い変数を遅い変数の関数に置き換える操作である。第V巻の言葉では、小さいパラメータ $\epsilon=T_2(2W+1/T_1)$ が時間微分の前に掛かる特異摂動の問題で、$\epsilon\to0$ の極限の方程式（遅い多様体の上の方程式）を使う B 型（極限）の近似にあたる。数学的な裏付けは、速い変数の方程式の固定点が一様に漸近安定であることを前提に、時間 $\mathcal{O}(\epsilon)$ の初めの層の後で解が遅い多様体の上の解に近づくことを示す Tikhonov の定理の型で与えられる¹1A. N. Tikhonov (1952), Matematicheskii Sbornik 31(73), 575.下の脚注へ閉じる。(21.9) は $\rho_{eg}$ について線形で、減衰の割合 $1/T_2$ を持つので、この前提を満たす。近似が外れるのは $\Omega T_2\gtrsim1$ の強い光と、$T_2$ より短いパルスで、そこでは図 21.1 の右のように Rabi 振動が残る。短いパルスの増幅（第23章のモード同期のパルス）でも、パルスの長さが $T_2$ より長ければレート方程式を使うことができる。

速い準位を消した。 準位3（と4準位の準位1）を消したのも同じ型の近似である。速い準位の方程式は占有について線形で、割合 $A_{32}$ や $1/\tau_1$ で減衰するので、前提は同じく満たされる。誤差は $A_{21}/A_{32}$ の1次で、例題 21.4 の (4) のように小さい。

線の広がりを均一とし、強度を空間的に一様とした。 すべての原子が同じ線の形を持つとしたので、飽和は線全体で同じ割合で起きる。原子ごとに中心がずれる不均一な広がりでは、強い光は自分の角周波数の原子だけを飽和させる（第24章）。また、ビームの断面や共振器の定在波の中で強度は場所ごとに違い、反転も場所ごとに違う飽和を受ける（定在波の腹と節で反転の減り方が違う空間的なホールバーニング）。この章の式は強度が一様な場合で、場所ごとに違う場合は (21.27) を場所ごとに使う。

自然放出をビームに入れなかった。 (21.6) では自然放出の光子はビームに入らないとした。実際には、ビームの立体角に入るわずかな自然放出が増幅されて雑音になる（増幅された自然放出）。発振の線幅を決めるのはこの雑音で、第22章で扱う。

何の実験の量で確かめるか

この章の式は、次の量の測定で確かめる。

蛍光の寿命 $\tau_2$。 短いパルスでポンプしたあと、準位2からの蛍光の強度が $\mathrm{e}^{-t/\tau_2}$ で減る速さを測る。(21.24) の $\tau_2$ はこの寿命そのもので、飽和強度と小信号利得の両方に入る。

断面積と線の形。 蛍光のスペクトルの形を $\mathcal S(\omega)$ とし、自然放出の割合を寿命と分岐の割合から出して (21.4) に入れると、誘導放出の断面積が光を増幅させずに得られる。この手順を Füchtbauer–Ladenburg の関係と呼ぶ。吸収のスペクトルからは $\sigma_{12}$ が得られ、縮退度の比 $g_2/g_1$ で $\sigma_{21}$ と比べることができる。

飽和強度。 2準位の吸収体なら、入口の強度を変えて透過率を測り、(21.17) に合わせると $\alpha_0L$ と $I_{\mathrm{sat}}$ が別々に決まる（例題 21.3）。

小信号利得と反転のしきい値。 ポンプした媒質に弱いプローブ光を1回通し、$G_0L=\ln(I(L)/I(0))$ を測る。3準位の媒質では、ポンプを強くしていくと、プローブの吸収が $W_{\mathrm p}\tau=1$ で利得に変わる。そのポンプの強さと蛍光の寿命から、(21.22) の形を確かめることができる。

授業で習った形との対応

学部のレーザー工学・量子エレクトロニクスの授業では、角周波数 $\omega$ でなく周波数 $\nu=\omega/2\pi$ を使い、屈折率 $n$ の結晶の中で書くことが多い。この章の式との対応は次のとおりである。

屈折率 $n$ の媒質の中では、2つの所が変わる。1つは、モードの数が $n^3$ 倍になるので A と B の比に $n^3$ が掛かること、もう1つは、エネルギーが速さ $c/n$ で運ばれるので、強度 $I$ のビームのエネルギー密度が $u_{\mathrm{tot}}=nI/c$ になることである。これを (21.4) の導出に入れると $\sigma_{21}=(\hbar\omega n/c)B_{21}\mathcal S=\lambda_0^2A_{21}\mathcal S/(4n^2)$ になる（$\lambda_0$ は真空の波長。検算スクリプト）。表の2つの断面積の式は、$g(\nu)=2\pi\mathcal S$ を代入すると同じ値を与える。授業の多くは光の遷移を初めから「上の準位の原子が下りる割合 $W$」で書き、レート方程式を出発点にする。この章の 21.2 節は、その出発点が光 Bloch 方程式から $T_2$ の短い極限で出ることを示した。