この章のまとめ

(1) Bloch 関数 $\psi\propto\mathrm{e}^{\mathrm{i}\bm{k}\cdot\bm{r}}u(\bm{r})$ で $u$ は格子の周期を持つ。$\bm{C}=n\bm{a}_1$ は格子ベクトルなので $u(\bm{r}+\bm{C})=u(\bm{r})$ で、周期境界条件は $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\bm{k}\cdot\bm{C}}=1$、すなわち $k_xna=2\pi\nu$ を要求する。したがって $k_x=2\pi\nu/(na)$。第2部第3章の $N$ 個の輪で $k=2\pi\nu/(Na)$ となったのと同じで、周の方向だけが輪になり、軸の方向の $k_y$ は連続のまま残る。2次元の Brillouin 域は、$k_y$ 方向の平行な線の束に切り分けられる。

(2) K $=(4\pi/(3a),0)$ を線が通る条件は $\frac{4\pi}{3a}=\frac{2\pi\nu}{na}$、すなわち $\nu=2n/3$ が整数になることで、$n$ が $3$ の倍数のときに限る。ほかの K と同じ点（六角形の角 $(\frac{2\pi}{3a},\pm\frac{2\pi}{\sqrt3a})$ など）は $k_x=2\pi/(3a)$ で、条件は $\nu=n/3$ でやはり $n$ が $3$ の倍数。K$'$ は K の符号を変えた点なので条件は同じである。線が Dirac 点を通れば、その線の上のバンドは $\varepsilon =0$ を横切り、満ちたバンドと空のバンドが接するので金属になる。数値で調べると $(9,0)$・$(12,0)$ でギャップが $0$、$(10,0)$・$(11,0)$・$(13,0)$ で有限になる。

(3) 許される $k_x$ は $2\pi/(na)$ ごとに並ぶ。K の $k_x=\frac{2\pi}{na}\cdot\frac{2n}{3}$ なので、$n$ が $3$ の倍数でなければ $2n/3$ の小数部分は $1/3$ か $2/3$ で、最も近い線までの距離は

$$\delta k=\frac13\cdot\frac{2\pi}{na}=\frac{2\pi}{3na}$$

である。その線の上では K に最も近い点で $\lvert \bm{q}\rvert =\delta k$ なので、Dirac コーンで上下のバンドの差は $2\hbar v_{\mathrm F}\delta k$ になる。$\hbar v_{\mathrm F}=\sqrt3ta/2$ を入れると

$$E_{\mathrm g}=2\cdot\frac{\sqrt3ta}{2}\cdot\frac{2\pi}{3na}=\frac{2\pi t}{\sqrt3n}=\frac{2t\,(a/\sqrt3)}{na/\pi}=\frac{2ta_{\mathrm{CC}}}{d}$$

となる。ギャップは直径に反比例し、太い筒ほどグラフェンに近づいてギャップが閉じる。$K$ から見て線が $\delta k$ だけずれていることは、2.9.2節の質量項 $\Delta=2\hbar v_{\mathrm F}\delta k$ を持つ1次元の Dirac コーンと同じ形を与える。

(4) $d=10\times0.246/\pi\approx0.783\,\mathrm{nm}$、$E_{\mathrm g}=2\times2.8\times0.142/0.783\approx1.016\,\mathrm{eV}$。tight-binding の厳密なバンドから求めた $0.983\,\mathrm{eV}$ より約 $3\%$ 大きい。$\delta k\,a=2\pi/30\approx0.21$ は小さくないので、Dirac コーンの1次の展開から外れる（2.9.2節で見た $\lvert \bm{q}\rvert a=0.2$ での約 $3\%$ のずれと同じ大きさ）。等エネルギー線の三角歪みのため、K の両側にある2本の線（K から $+\delta k$ と $-2\delta k$ に並ぶ線のうち近い方）での差は向きで違う。さらに実在の細いナノチューブでは、2.9.4節で削った $\pi$ と $\sigma$ の混ざりが面の曲がりで戻り、ギャップの値を変える。このとき「平らな面では対称性で分かれる」という削り方の前提が崩れている。

(5) (3) の対応から、最も低い伝導帯は $\varepsilon =\sqrt{(E_{\mathrm g}/2)^2+(\hbar v_{\mathrm F}q_y)^2}$ で、例題 2.9.3 と同じ計算により $m^*=E_{\mathrm g}/(2v_{\mathrm F}^2)$ である。$v_{\mathrm F}=9.06\times10^5\,\mathrm{m\,s^{-1}}$、$E_{\mathrm g}=1.016\,\mathrm{eV}$ で $m^*=1.016\times1.602\times10^{-19}/(2\times8.21\times10^{11})\approx9.9\times10^{-32}\,\mathrm{kg}\approx0.109\,m_{\mathrm e}$。軸の方向は1次元なので、帯の端の近くの状態密度は $D(\varepsilon )\propto(\varepsilon -E_{\mathrm g}/2)^{-1/2}$ と端で発散する。これは第2部第6章で見た1次元の van Hove 特異点で、ナノチューブの光の吸収が鋭い線になる理由である。電子を足していない $(10,0)$ では、炭素1個あたり $\pi$ 電子1個で下半分のバンドがちょうど満ち、Fermi 準位はギャップの真ん中にある。第2部第7章の分類に従い、$(10,0)$ は約 $1\,\mathrm{eV}$ のギャップの半導体で、低温では電気を通さない。同じグラフェンから、巻き方 $n$ を1つ変えるだけで金属と半導体が入れ替わる。