何を削ったか

ハミルトニアンの選び方で固体を考える　第2部 第9章 §2.9.4　★★ グラフェンは $\pi$ 軌道だけ・最近接だけを残し、Si・GaAs は多軌道の計算を有効質量の放物線にまとめた。削った項のうちギャップを開くものと開かないものを分ける

グラフェンの模型で削ったもの

式 (2.9.1) は、全体のハミルトニアン（第1部第1章）から次のものを削って得た。

第一に、$\sigma$ 結合を作る $2s$・$2p_x$・$2p_y$ 軌道を削った。$\sigma$ の結合軌道と反結合軌道は Fermi 準位から数 eV 離れているので、Fermi 準位の近くの性質には入ってこない。$2p_z$ 軌道は面の反転で符号を変え、$\sigma$ の軌道は変えないので、平らなグラフェンでは $\pi$ と $\sigma$ が対称性で混ざらない。この削り方は、面が平らである限り、エネルギーの離れ具合だけでなく対称性にも支えられている。カーボンナノチューブのように面が曲がると、この対称性が崩れて $\pi$ と $\sigma$ が混ざる（総合問題で触れる）。

第二に、2番目以降に近い原子への飛び移りを削った。同じ副格子の6個の次近接への飛び移り $t'$ を戻すと、対角要素に $-t'(\lvert f\rvert ^2-3)$ が加わる（例題 2.9.6）。この項は A と B に同じ形で入るので、K での縮退は解けず、Dirac 点のエネルギーが $3t'$ だけずれて電子と正孔の対称性が崩れるだけである。ギャップを開くのは、A と B を区別する項（2.9.2節の質量項）か、時間反転を破る項に限られる。

第三に、スピンと軌道の相互作用を削った。この相互作用を戻すと K と K$'$ でそれぞれ逆の符号の質量項が生じてギャップが開くことを Kane と Mele が示したが（C. L. Kane and E. J. Mele (2005), Phys. Rev. Lett. 95, 226801）、炭素は軽い原子なのでそのギャップはごく小さく、普段の温度では見えない。このギャップがトポロジーの意味を持つことは第5部で扱う。

第四に、原子軌道の重なり積分（第2部第1章で $s$ と書いた量）を $0$ とした。重なりを戻すと固有値問題が一般化固有値問題になり、上下のバンドの対称性が崩れるが、K での接し方は変わらない。第五に、電子どうしの相互作用を平均に置き換えた。グラフェンでは Dirac 点の近くで状態密度が $0$ に落ちるので遮蔽が弱く、相互作用が $v_{\mathrm F}$ をわずかに大きくすることが知られている。この巻ではその効果を扱わない。

Si・GaAs のバンド図で削ったもの

Si と GaAs のバンド図は、ここでは自分で対角化せず、多くの軌道を残した計算と実験から借りた。そのうえで、伝導帯の下端と価電子帯の上端の近くだけを式 (2.9.17) の放物線（有効質量）にまとめた。この「端の近くを放物線にまとめる」操作が、第4部の半導体と輸送の章で毎回使う近似になる。外場や不純物の作るポテンシャルが格子間隔に比べてゆっくり変わるなら、電子は放物線のバンドを持つ自由な粒子として振る舞う。もう1つ、バンド図の計算の多くは密度汎関数理論（DFT）の局所密度近似で作られている。この近似は Kohn–Sham 方程式の固有値でギャップを測るので、交換相関エネルギーの粒子数についての微分の不連続を落とし、ギャップを実験より小さく出す傾向がある（J. P. Perdew and M. Levy (1983), Phys. Rev. Lett. 51, 1884、L. J. Sham and M. Schlüter (1983), Phys. Rev. Lett. 51, 1888）。バンド図からギャップの値を読むときは、それが実験の値か、どの計算の値かを確かめる必要がある。