何の実験の量で確かめるか（つなぎ：半古典運動へ）

ハミルトニアンの選び方で固体を考える　第2部 第9章 §2.9.5　★★ バンドは光電子分光で直接見え、有効質量はサイクロトロン共鳴で、Dirac コーンは $\sqrt n$ に比例する質量と光の吸収率 $\pi\alpha$ で確かめられる

バンドを直接見る：角度分解光電子分光

固体に紫外線や X 線を当てると、光電効果で電子が飛び出す。飛び出した電子のエネルギーと飛ぶ向きを測ると、エネルギーの保存と、表面に平行な波数の保存から、固体の中での電子の $\varepsilon$ と $\bm{k}$ の組が分かる。これを角度分解光電子分光（ARPES）と呼ぶ。埋まった状態しか見えないので、Fermi 準位より下のバンドを直接描くことができる。グラフェンでは K のまわりで直線に交わる2本のバンドが測られ、Dirac コーンが確かめられている（A. Bostwick, T. Ohta, T. Seyller, K. Horn and E. Rotenberg (2007), Nature Physics 3, 36）。

有効質量を測る：サイクロトロン共鳴

磁場 $\bm{B}$ の中の電子は、バンドの等エネルギー面と磁場に垂直な面の交線に沿って $\bm{k}$ 空間を回る。放物線のバンドなら、回る角振動数は $\omega_{\mathrm c}=eB/m_{\mathrm c}$ で、$\omega_{\mathrm c}$ に合う周波数のマイクロ波を当てると吸収が起こる（サイクロトロン共鳴）。これで質量 $m_{\mathrm c}$ を測ることができる。Si の楕円体の谷では、磁場が谷の軸と角度をなすと質量が変わり、

$$m_{\mathrm c}=\sqrt{\frac{\det m}{\bm{b}\cdot m\,\bm{b}}}\qquad(\bm{b}=\bm{B}/B,\ m=\mathrm{diag}(m_l,m_t,m_t)\ \text{を谷の軸の座標で書いた質量テンソル})\tag{2.9.18}$$

となる。磁場を結晶軸に沿って回すと、6個の谷が違う $m_{\mathrm c}$ を示し、その角度依存から $m_l$ と $m_t$ が分かれて決まる。Dresselhaus・Kip・Kittel の値 (2.9.17) はこうして得られた。

グラフェンでは、例題 2.9.2 で見たように $m_{\mathrm c}=\hbar k_{\mathrm F}/v_{\mathrm F}\propto\sqrt n$ となる。Novoselov らは磁場中の抵抗の振動の温度変化から $m_{\mathrm c}$ を求め、$\sqrt n$ に比例することと $v_{\mathrm F}\approx10^6\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ を確かめた（K. S. Novoselov et al. (2005), Nature 438, 197）。同じ年に、Hall 伝導度の量子化の段が通常の整数でなく半整数にずれることが2つの組から報告され（上の論文と Y. Zhang, Y.-W. Tan, H. L. Stormer and P. Kim (2005), Nature 438, 201）、Dirac コーンの電子が K のまわりを1周すると擬スピンが1回転して位相 $\pi$ を拾うことの証拠になった。この位相（Berry 位相）は第5部第5章で扱う。

光の吸収率：$\pi\alpha$

Dirac コーンには長さの尺度もエネルギーの尺度も無い（$\hbar v_{\mathrm F}$ だけがある）。このため、下のコーンから上のコーンへの光の遷移による吸収率は光の周波数によらず、自由空間に置いたグラフェン1枚が垂直に入る光を吸う割合は微細構造定数 $\alpha=e^2/(4\pi\varepsilon _0\hbar c)$ だけで $\pi\alpha\approx2.3\%$ と決まる。Nair らは可視光でこの値を測った（R. R. Nair et al. (2008), Science 320, 1308）。吸収率の導出は光の遷移の確率を使うので、第4部第6章で行う。

つなぎ：外場の中のバンドの電子（解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第4部第10章へ）

この節で使ったサイクロトロン共鳴の議論は、「バンドの電子は外場の中で $\bm{k}$ と $\bm{r}$ を変数とする古典力学の粒子のように動く」という半古典運動を前提にしている。バンド $\varepsilon _n(\bm{k})$ をハミルトニアンとし、$(\bm{r},\hbar\bm{k})$ を正準変数として Hamilton 方程式を書くと

$$\dot{\bm{r}}=\frac1\hbar\nabla_{\bm{k}}\varepsilon _n(\bm{k}),\qquad \hbar\dot{\bm{k}}=-e\bigl(\bm{E}+\dot{\bm{r}}\times\bm{B}\bigr)\tag{2.9.19}$$

が出る。有効質量はこのハミルトニアンの2階微分で、サイクロトロン質量は $\bm{k}$ 空間の軌道の面積のエネルギー微分で決まる。この導出と、磁場中の軌道の量子化（Onsager の関係）は 解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第4部第10章 に置いた。この巻では結論の式 (2.9.19) だけを使う。Dirac コーンのように2本のバンドが接する所では、半古典運動の前提（バンドが孤立していること）が崩れる。Berry 曲率による補正を含めた扱いは 第5部第5章 で行う。