出てくるもの (3)：一様な磁場と電場の中の運動

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第2部 第2章 §2.2.5　★★ Landau ゲージでは保存する $p_x$ を止めると1次元の調和振動子になる。円運動の角振動数 $qB/m$ と、電場に直交する一定のドリフト速度 $E/B$ が出る

Hamiltonian を1次元の問題に帰着させる

一様な磁場 $\bm{B}=B\bm{e}_z$ と、それに直交する一様な電場 $\bm{E}=E\bm{e}_y$ があるとする（$q>0$, $B>0$）。ポテンシャルを $\phi=-Ey$, $\bm{A}=(-By,0,0)$ に選ぶ。$\nabla\times\bm{A}=(0,0,-\partial_y(-By))=B\bm{e}_z$ で、$-\nabla\phi=E\bm{e}_y$ である。この $\bm{A}$ は前の節の $\bm{A}_{\mathrm L}$ と $x$, $y$ の役を入れ替えた Landau ゲージで、Hamiltonian (2.2.11) は

$$H=\frac{(p_x+qBy)^2}{2m}+\frac{p_y^2}{2m}+\frac{p_z^2}{2m}-qEy\tag{2.2.19}$$

となる。$H$ は $x$ と $z$ を含まないので、$p_x$ と $p_z$ が保存する。$p_x$ を定数として止めると、$y$ の運動だけが残る。$\omega_{\mathrm c}=qB/m$ とおいて $y$ の部分を平方完成すると

$$H_y=\frac{p_y^2}{2m}+\frac12m\omega_{\mathrm c}^2\bigl(y-y_{\mathrm c}\bigr)^2+\text{定数},\qquad y_{\mathrm c}=-\frac{p_x}{qB}+\frac{mE}{qB^2}\tag{2.2.20}$$

で、角振動数 $\omega_{\mathrm c}$、中心 $y_{\mathrm c}$ の調和振動子になる。磁場だけ（$E=0$）なら、$y$ は角振動数 $\omega_{\mathrm c}$ で振動する。$x$ の速度 $\dot x=\partial H/\partial p_x=(p_x+qBy)/m=\omega_{\mathrm c}(y-y_{\mathrm c})$ も同じ角振動数で振動し、2つを合わせると例題 2.2.2 の円運動になる。この $\omega_{\mathrm c}$ をサイクロトロン角振動数と呼ぶ。円の半径 $\rho=v_\perp/\omega_{\mathrm c}=mv_\perp/(qB)$（$v_\perp$ は磁場に垂直な速さ）はLarmor 半径と呼ばれる。$\omega_{\mathrm c}$ は速さによらないので、速い粒子は大きな円を、遅い粒子は小さな円を、同じ周期 $2\pi/\omega_{\mathrm c}$ で回る。

$\bm{E}\times\bm{B}$ ドリフト

電場があると $x$ 方向の速度は

$$\dot x=\omega_{\mathrm c}(y-y_{\mathrm c})+\omega_{\mathrm c}\Bigl(y_{\mathrm c}+\frac{p_x}{qB}\Bigr)=\omega_{\mathrm c}(y-y_{\mathrm c})+\frac{E}{B}\tag{2.2.21}$$

となる。第1項は振動して時間平均が $0$、第2項は一定である。円運動の中心は $x$ 方向に一定の速さ $E/B$ で動く。向きを込めると $\bm{v}_{\mathrm d}=\bm{E}\times\bm{B}/B^2=E\bm{e}_y\times B\bm{e}_z/B^2=(E/B)\bm{e}_x$ で、電場にも磁場にも直交する。これを $\bm{E}\times\bm{B}$ ドリフトと呼ぶ。$\bm{v}_{\mathrm d}$ は $q$ と $m$ を含まないので、電荷の符号や質量によらず、すべての粒子が同じ向きに同じ速さで流れる。

$\omega_{\mathrm c}t$ を時間の単位、$E/(B\omega_{\mathrm c})$ を長さの単位にとると、原点で静止していた粒子の軌道は$x=\omega_{\mathrm c}t-\sin\omega_{\mathrm c}t$, $y=1-\cos\omega_{\mathrm c}t$（サイクロイド）になる（図 2.2.2）。最初に電場で $+y$ へ加速された粒子が磁場で曲げられ、電場に逆らって $y=0$ まで戻り、そこで止まる。これを繰り返しながら $x$ 方向へ進む。

外から決めた場という近似

この章の $L$ では、$\phi$ と $\bm{A}$ は粒子の運動によらない与えられた関数であった。実際には加速度を持つ電荷は電磁波を放射してエネルギーを失う。非相対論的な電荷の放射の仕事率は Larmor の式 $P=q^2\lvert \ddot{\bm{r}}\rvert ^2/(6\pi\varepsilon_0c^3)$ で、円運動では $\lvert \ddot{\bm{r}}\rvert =\omega_{\mathrm c}v_\perp$ なので、運動エネルギー $\frac12mv_\perp^2$ が減る割合は

$$\frac{P}{\frac12mv_\perp^2}=2\tau_{\mathrm{rad}}\,\omega_{\mathrm c}^2,\qquad\tau_{\mathrm{rad}}\coloneqq\frac{q^2}{6\pi\varepsilon_0mc^3}\tag{2.2.22}$$

になる。電子では $\tau_{\mathrm{rad}}=6.27\times10^{-24}\,\mathrm s$ で、$B=1\,\mathrm T$ では $\omega_{\mathrm c}\tau_{\mathrm{rad}}=1.10\times10^{-12}$ である。エネルギーが $1/\mathrm{e}$ に減る時間 $1/(2\tau_{\mathrm{rad}}\omega_{\mathrm c}^2)$ は $2.58\,\mathrm s$ で、1周の時間 $3.57\times10^{-11}\,\mathrm s$ の約 $7\times10^{10}$ 倍である。円運動を何周も計算する間は、放射の反作用を無視して外から決めた場の中の運動として扱ってよい。放射の反作用を入れた運動方程式は3階の微分方程式になり、小さいパラメータ $\omega_{\mathrm c}\tau_{\mathrm{rad}}$ が最高階の微分に掛かる特異摂動の形をとる。