授業で習った形との対応

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第2部 第2章 §2.2.6　★★ 授業では Lorentz 力を出発点に置き、ポテンシャルは後から導入する。この章では $L$ のポテンシャルが出発点で、Lorentz 力・エネルギーの式・誘導の電場が後から出る

出発点の違い

解析力学を使わない電磁気学の授業では、まず電荷に働く力を

$$\bm{F}=q(\bm{E}+\bm{v}\times\bm{B})\tag{2.2.23}$$

と置き、$\bm{E}$ と $\bm{B}$ を測定で定める量とする。ポテンシャルは、$\nabla\cdot\bm{B}=0$ から $\bm{B}=\nabla\times\bm{A}$ と書けること、Faraday の法則 $\nabla\times\bm{E}=-\partial\bm{B}/\partial t$ から$\nabla\times(\bm{E}+\partial\bm{A}/\partial t)=0$ なので $\bm{E}+\partial\bm{A}/\partial t=-\nabla\phi$ と書けることを使って、後から導入する。$\bm{A}$ は「磁場を計算するための補助の量」という扱いになり、ゲージの自由度は「補助の量の選び方の余り」として現れる。

この章では順序が逆である。$L$ に入るのは $\phi$ と $\bm{A}$ で、$\bm{E}$ と $\bm{B}$ は Euler–Lagrange 方程式を計算したときに現れる組み合わせ (2.2.3) として出てきた。2つの書き方の対応は次のとおりである。

エネルギーの式の対応

授業では、運動エネルギーの変化を $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\frac12mv^2=\bm{F}\cdot\bm{v}=q\bm{E}\cdot\bm{v}$ と書く。これを $\bm{E}=-\nabla\phi-\partial\bm{A}/\partial t$ で書き直すと、$\frac{\mathrm{d} \phi}{\mathrm{d} t}=\partial_t\phi+\bm{v}\cdot\nabla\phi$ から

$$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\Bigl(\frac12mv^2+q\phi\Bigr)=q\frac{\partial \phi}{\partial t}-q\,\bm{v}\cdot\frac{\partial \bm{A}}{\partial t}$$

となり、式 (2.2.13) と一致する。授業の形は「電場が仕事をする」、この章の形は「$H$ が時刻をあらわに含む分だけ変わる」と読む。静電場では右辺が $0$ で、$H=\frac12mv^2+q\phi$ の保存が授業の力学的エネルギー保存にあたる。

量子力学の Hamiltonian

量子力学の授業では、電磁場中の Hamiltonian $\hat H=(\hat{\bm{p}}-q\bm{A})^2/(2m)+q\phi$ を、天下りに与えるか、「運動量を $\hat{\bm{p}}-q\bm{A}$ に置き換える」規則として与える。この章の形では、式 (2.2.11) が $L$ の Legendre 変換として決まっており、$\hat{\bm{p}}=-\mathrm{i}\hbar\nabla$ は正準運動量 $\bm{p}=m\dot{\bm{r}}+q\bm{A}$ に対応する演算子である。$\hat{\bm{p}}$ を $m\dot{\bm{r}}$ の演算子と取り違えると、ゲージ変換 (2.2.18) で波動関数の位相が変わる理由が見えなくなる（第4部第6章）。