当てる道具：Euler–Lagrange 方程式から Lorentz 力へ

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第2部 第2章 §2.2.2　★★★ $L$ を Euler–Lagrange 方程式に入れ、ベクトルの恒等式を1つ使うと $m\ddot{\bm{r}}=q(\bm{E}+\dot{\bm{r}}\times\bm{B})$ が出る

当てる道具は Euler–Lagrange 方程式（第1部第4章）だけである。直交座標の成分ごとに $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\frac{\partial L}{\partial \dot x_i}-\frac{\partial L}{\partial x_i}=0$ を書く（$x_1=x$, $x_2=y$, $x_3=z$）。

偏微分を2つ計算する

式 (2.2.2) を速度で偏微分すると

$$\frac{\partial L}{\partial \dot{\bm{r}}}=m\dot{\bm{r}}+q\bm{A}(\bm{r},t).\tag{2.2.5}$$

これを粒子の軌道に沿って時間で微分する。$\bm{A}$ は時刻と位置の両方を通して変わるので、

$$\frac{\mathrm{d} \bm{A}}{\mathrm{d} t}=\frac{\partial \bm{A}}{\partial t}+(\dot{\bm{r}}\cdot\nabla)\bm{A},\qquad\text{成分では}\quad\frac{\mathrm{d} A_i}{\mathrm{d} t}=\frac{\partial A_i}{\partial t}+\sum_j\dot x_j\frac{\partial A_i}{\partial x_j}\tag{2.2.6}$$

となる。右辺第2項は、時刻を止めても粒子が場所を移ることで見る $\bm{A}$ が変わる分である。

位置で偏微分するときは速度を止めるので、

$$\frac{\partial L}{\partial \bm{r}}=-q\nabla\phi+q\nabla(\dot{\bm{r}}\cdot\bm{A}),\qquad\text{成分では}\quad\frac{\partial L}{\partial x_i}=-q\frac{\partial \phi}{\partial x_i}+q\sum_j\dot x_j\frac{\partial A_j}{\partial x_i}\tag{2.2.7}$$

である。

Lorentz 力の式

式 (2.2.5)〜(2.2.7) を Euler–Lagrange 方程式に入れ、$m\ddot{\bm{r}}$ だけを左辺に残すと

$$m\ddot{\bm{r}}=-q\nabla\phi-q\frac{\partial \bm{A}}{\partial t}+q\bigl[\nabla(\dot{\bm{r}}\cdot\bm{A})-(\dot{\bm{r}}\cdot\nabla)\bm{A}\bigr].$$

角括弧は、$\dot{\bm{r}}$ を位置によらない定数とみなした恒等式

$$\nabla(\bm{v}\cdot\bm{A})-(\bm{v}\cdot\nabla)\bm{A}=\bm{v}\times(\nabla\times\bm{A})\tag{2.2.8}$$

で書き直すことができる（成分では $\sum_jv_j(\partial_iA_j-\partial_jA_i)$ で、$i=1$ なら $v_2(\partial_1A_2-\partial_2A_1)-v_3(\partial_3A_1-\partial_1A_3)=v_2B_3-v_3B_2=(\bm{v}\times\bm{B})_1$）。よって

$$m\ddot{\bm{r}}=q\bigl(\bm{E}+\dot{\bm{r}}\times\bm{B}\bigr),\qquad\bm{E}=-\nabla\phi-\frac{\partial \bm{A}}{\partial t},\quad\bm{B}=\nabla\times\bm{A}\tag{2.2.9}$$

が得られる。これが Lorentz 力の式である。

導出の中で $\bm{A}$ の役は2つに分かれた。時間微分 $-\partial\bm{A}/\partial t$ は電場に入り、回転 $\nabla\times\bm{A}$ は磁場になった。磁場の項は、$\partial L/\partial\dot{\bm{r}}$ の中の $q\bm{A}$ を軌道に沿って微分したとき出る $(\dot{\bm{r}}\cdot\nabla)\bm{A}$ と、位置の偏微分で出る $\nabla(\dot{\bm{r}}\cdot\bm{A})$ の差で、例題 2.2.1 の反対称な行列 $b_{ij}$ と同じものである。

運動方程式 (2.2.9) には $\phi$ と $\bm{A}$ そのものは現れず、組み合わせ $\bm{E}$ と $\bm{B}$ だけが現れる。この事実から、$\bm{E}$ と $\bm{B}$ を変えない $(\phi,\bm{A})$ の取り替えが運動を変えないことがわかる。これを2.2.4節で $L$ の言葉で確かめる。