授業で習った形との対応

ハミルトニアンの選び方で固体を考える　第2部 第9章 §2.9.6　★★ 教科書に載るグラフェンの分散の式・有効質量の式・直接遷移と間接遷移の説明を、この章の Bloch ハミルトニアンと並べる

グラフェンの分散の式

学部の固体物理の教科書では、グラフェンの $\pi$ バンドを座標軸を決めたうえで

$$\varepsilon _\pm(\bm{k})=\pm t\sqrt{1+4\cos\frac{\sqrt3k_ya}{2}\cos\frac{k_xa}{2}+4\cos^2\frac{k_xa}{2}}\tag{2.9.20}$$

と書くことが多い。この章の式 (2.9.8) で $\bm{k}\cdot\bm{a}_1=k_xa$、$\bm{k}\cdot\bm{a}_2=\frac{k_xa}{2}+\frac{\sqrt3k_ya}{2}$ を入れ、$\cos(\bm{k}\cdot\bm{a}_2)+\cos(\bm{k}\cdot(\bm{a}_2-\bm{a}_1))=2\cos\frac{\sqrt3k_ya}{2}\cos\frac{k_xa}{2}$、$3+2\cos k_xa=1+4\cos^2\frac{k_xa}{2}$ を使うと式 (2.9.20) になる（例題 2.9.9）。式 (2.9.20) は答えの形だけを示しているのに対し、この章の形は $2\times2$ の行列 (2.9.7) を経由している。行列の形の利点は、K で $f=0$ となることが3つの位相の打ち消し合いとして見えること、質量項 $\sigma_z$ や次近接の項を行列の要素として足せること、固有ベクトル（擬スピン）が得られることの3つである。グラフェンの格子定数の取り方は教科書によって違い、炭素どうしの距離 $a_{\mathrm{CC}}$ を $a$ と書く本もある。その場合は式 (2.9.20) の $a$ が $\sqrt3a_{\mathrm{CC}}$ に置き換わり、$v_{\mathrm F}=3ta_{\mathrm{CC}}/(2\hbar)$ と書かれる。

有効質量の式と直接・間接遷移

授業では有効質量を、1次元のバンド $E(k)$ の曲率として

$$\frac{1}{m^*}=\frac{1}{\hbar^2}\frac{\mathrm{d}^2E}{\mathrm{d} k^2}$$

と定義し、半導体の伝導帯を $E=E_{\mathrm c}+\hbar^2k^2/(2m^*)$ と書く。3次元のこの章の言葉では、これは帯の端でのバンドの2階微分のテンソル $(m^{*-1})_{ij}=\hbar^{-2}\partial^2\varepsilon /\partial k_i\partial k_j$ で、立方対称な $\Gamma$ の非縮退な端では定数倍の単位行列になり、Si の $\Delta$ 線上の谷のように対称性の低い点では楕円体 (2.9.17) になる。授業の「有効質量 $m^*$」が1つの数で済むのは、前者の場合に限られる。

直接遷移と間接遷移は、授業では「$E$-$k$ 図の上で、光の遷移は垂直な矢印、フォノンを伴う遷移は斜めの矢印」と説明される。この章では、矢印が垂直になる理由を光子の波数が Brillouin 域の $10^{-3}$ 程度しかないこととして数で確かめ（例題 2.9.5）、斜めの矢印の横の長さを Si の谷の位置 $0.85\times2\pi/a$ として与えた。