この章のまとめ

(1) $f$ を「励起なら $1$、基底なら $0$」とすると、$\beta=0$ の分布は $q=(\frac12,\frac12)$ で $\Lambda(\lambda)=\ln\frac{1+\mathrm{e}^\lambda}{2}$。$\Lambda'(\lambda^*)=x$ から $\mathrm{e}^{\lambda^*}=\frac{x}{1-x}$ で、$\Lambda^*(x)=x\ln\frac{x}{1-x}-\ln\frac{1}{2(1-x)}=x\ln x+(1-x)\ln(1-x)+\ln2=\ln2-h_{\mathrm b}(x)$。したがって $s(x)=\ln2-\Lambda^*(x)=h_{\mathrm b}(x)$。これは $n$ 個中 $nx$ 個が励起する状態数 $\binom{n}{nx}$ の対数を $n$ で割った極限で、Stirling の公式から出る結果と一致する。

(2) 条件付き極限定理から、1個の原子は I 射影 $q_{\lambda^*}=(1-x,\,x)=(0.8,\,0.2)$ に従う。カノニカル分布とみなすと$\frac{a}{1-a}=\mathrm{e}^{-\beta\varepsilon _0}=\frac{0.2}{0.8}$ なので $\beta\varepsilon _0=\ln4=1.386$。これは 1.8.6節の $\beta=\frac{\partial s}{\partial u}$ を (1) の $s=h_{\mathrm b}(x)$（$u=\varepsilon _0x$）で計算した$\varepsilon _0\beta=h_{\mathrm b}'(x)=\ln\frac{1-x}{x}$ と同じである。

(3) 原子の状態を $x\in\{0,1\}$、エネルギーを $\varepsilon (x)=\varepsilon _0x$ と書くと、$p_\beta(x)=\mathrm{e}^{-\beta\varepsilon (x)}/Z_1(\beta)$ なので $\ln\frac{p_{\beta_0}(x)}{p_{\beta_1}(x)}=(\beta_1-\beta_0)\varepsilon (x)+\ln Z_1(\beta_1)-\ln Z_1(\beta_0)$。これを $p_{\beta_0}$ で平均すると $\langle \varepsilon \rangle _{p_{\beta_0}}=U(\beta_0)$ なので、示すべき式を得る。数値は $a(\beta_0)=1/(1+\mathrm{e})=0.269$、$\ln Z_1(1.2)-\ln Z_1(1)=\ln\frac{1+\mathrm{e}^{-1.2}}{1+\mathrm{e}^{-1}}=-0.0500$ で、$D=0.2\times0.269-0.0500=0.00381$。この式は第2部で示す自由エネルギーの差と $D$ の関係（第2部第2章）の、2つの温度の間の版になっている。

(4) $\phi(\beta)=\ln Z_1(\beta)$ とおくと $\phi'(\beta)=-U(\beta)$、$\phi''(\beta)=\mathrm{Var}_\beta(\varepsilon )=\varepsilon _0^2a(1-a)$。$\phi(\beta_0+\delta)=\phi(\beta_0)-U\delta+\frac12\phi''\delta^2+\mathcal{O}(\delta^3)$ を (3) に入れると、1次の項は打ち消し合い$D=\frac12\varepsilon _0^2a(1-a)\delta^2+\mathcal{O}(\delta^3)$。Fisher 情報は $J(\beta)=\langle (\partial_\beta\ln p_\beta)^2 \rangle =\langle (U-\varepsilon )^2 \rangle _{p_\beta}=\mathrm{Var}_\beta(\varepsilon )$ なので、展開は $\frac12J(\beta_0)\delta^2$ の形をしている。数値は $J=0.269\times0.731=0.197$（$\varepsilon _0^2$ 単位）、$\delta\varepsilon _0=0.2$ で $\frac12J\delta^2=0.00393$。厳密な $0.00381$ より $3\%$ 大きく、差は $\delta^3$ の項に由来する。

(5) $n\approx\ln1000/D$ で、厳密な指数からは $6.91/0.00381=1.81\times10^3$ 個、2次の近似からは $6.91/0.00393=1.76\times10^3$ 個。温度が $20\%$ 違うだけでも、見分けるのに約 $1800$ 個の原子を測る必要がある。図 1.8.4 のとおり有限の $n$ では指数が $D$ より小さいので、実際にはこれより多く要る。